Mô đun của số phức z là gì

Kì thi THPT Quốc gia đã đến rất gần, vì vậy trong bài viết này, Chúng Tôi xin phép chia sẻ đến các bạn đọc một số lý thuyết toán 12 chương Số phức. Ngoài phần tổng hợp kiến thức toán 12 về số phức, bài viết cũng đưa ra những ví dụ chọn lọc cơ bản để các bạn có thể dễ dàng ôn tập và nâng cao khả năng phân tích, định hướng khi đứng trước một bài toán mới. Cùng khám phá bài viết nhé:

I. Lý thuyết toán 12: Các kiến thức cần nhớ

Trước khi bắt tay vào giải quyết các dạng bài tập về số phức, điều đầu tiên các bạn cần ôn luyện lại những kiến thức toán 12 số phức căn bản sau:

1. Khái niệm:

Số phức (dạng đại số) sẽ có dạng: z = a + bi , trong đó a, b là các số nguyên, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Và i được xem là đơn vị ảo, qui ước i²= -1

Tập hợp số phức được kí hiệu là C.

Nếu z là số thực thì phần ảo b = 0, ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a = 0.

Xét hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i , đối với số phức, ta chỉ xét xem hai số phức có bằng nhau hay không. Điều kiện 2 số phức bằng nhau z = z' khi và chỉ khi a = a', b = b' .

2. Biểu diễn hình học của số phức:

Cho số phức z = a + bi (a,b nguyên). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc bởi vector u = (a;b). Chú ý ở mặt phẳng phức, trục Ox còn được gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.

Hình 1: Biểu diễn dạng hình học của một số phức.

3. Phép tính trong số phức:

4. Số phức liên hợp

5. Modun của số phức:

Có thể hiểu modun của số phức z = a+bi là độ dài của vector u (a,b) biểu diễn số phức đó.

6. Dạng lượng giác của số phức:

II. Lý thuyết toán 12: Tổng hợp 3 dạng bài tập thường gặp ở chương 1

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn đẳng thức.

Ví dụ 1: Tìm các số thực x, y sao cho đẳng thức sau là đúng:

a) 5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x-y)i

b) (-3x + 2y)i + (2x - 3y + 1)=(2x + 6y - 3) + (6x - 2y)i

Hướng dẫn:

a) Ta xem xét mỗi vế là một số phức, như vậy điều kiện để 2 số phức bằng nhau là phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo.

Ta có: 5x + y = 2y - 1; 5x = x - y, suy ra x = -1/7; y = 4/7

b) Câu này tương tự câu trên, các bạn cứ việc đồng nhất phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo là sẽ tìm ra được đáp án.

Ví dụ 2: Tìm số phức biết:

a) |z| = 5 và z = z

b) |z| = 8 và phần thực của z bằng 5 lần phần ảo của z.

Hướng dẫn:

a) Giả sử z = a + bi, suy ra z = a - bi . Khi đó:

a² + b² = 52; a = a; b = -b (do z = z)

suy ra b = 0, a = 5

Vậy có 2 số phức z thỏa đề bài là z = 5và z = -5

b) Hướng đi là lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó giải tìm ra được phần thực và phần ảo của z.

Như vậy, cách để giải quyết dạng này là dựa vào các tính chất của số phức, ta lập các hệ phương trình để giải, tìm ra phần thực và ảo của số phức đề bài yêu cầu.

Dạng 2: Căn bậc hai và phương trình số phức.

Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của z nếu w² = z, hay nói cách khác:

(x + yi)² = a + bi

=> x² - y² + 2xyi = a + bi

=> x² - y² = a, 2xy=b(*).

Như vậy để tìm căn bậc 2 của một số phức, ta sẽ giải hệ phương trình (*) ở đã nêu ở trên.

Ví dụ: Tìm giá trị của m để phương trình sau z + mz + i = 0 có hai nghiệm z₁ , z₂ thỏa đẳng thức z₁ ² + z₂² = -4i.

Hướng dẫn:

Chú ý, đối với phương trình bậc 2 thì hệ thức Vi-et về nghiệm luôn được sử dụng. Như vậy ta có: z₁ + z₂ = -m, z₁z₂ =i.

Theo đề bài:

z₁ ² + z₂² = -4i

=> (z₁ + z₂)² - 2z₁z₂ = -4i

=> m² = -2i.

Đến đây, bài toán qui về tìm căn bậc hai cho 1 số phức. Áp dụng phần kiến thức đã nêu ở trên, ta giải hệ sau: gọi m=a+bi, suy ra ta có hệ:

a² + b² = 0, 2ab = -2i

=> (a,b) = (1,-1) hoặc (a,b) = (-1,1).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Dạng 3: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước trên mặt phẳng phức

Để giải dạng bài tập này, các bạn phải vận dụng một số kiến thức toán 12 hình học giải tích bao gồm phương trình đường thẳng, đường tròn, parabol, chú ý công thức tính module của số phức, nó sẽ giúp ích rất nhiều cho các bạn khi quỹ tích liên quan đến hình tròn hoặc parabol.

- Số phức z thỏa mãn điều kiện độ dài, chú ý cách tính module:

- Nếu số phức z là số thực, a=0.

- Nếu số phức z là số thuần ảo, b=0

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:

a) (2z - i)/(z - 2i) có phần thực là 3.

b) |z - 1 + 2i| = 3

Hướng dẫn:

a) Gọi M(x,y) là điểm cần tìm. Khi đó: (2z - i)/(z - 2i)= a + bi với:

Để phần thực là 3, tức là a=3, suy ra:

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0;17/2) có bán kính

b) M(x,y) là điểm biểu diễn của z, gọi N là điểm biểu diễn của số phức z = 1 - 2i,

suy ra N(1,-2).

Theo đề bài, |z - z₂|= 3, suy ra MN=3

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn đề là đường tròn tâm N(1;-2) bán kính R=3.

Trên đây là tổng hợp lý thuyết toán 12 về chương số phức. Hy vọng qua bài đọc các bạn sẽ phần nào củng cố và rèn luyện chắc chắn hơn kiến thức của bản thân mình. Số phức là một khái niệm khá mới lạ, vì vậy đòi hỏi bạn phải hiểu thật rõ nhưng khái niệm cơ bản thì mới có khả năng giải quyết dạng toán này tốt được. Cùng đọc thêm các bài viết khác của Kiến để có thêm nhiều bài học bổ ích nhé.