Hàm số y = x mũ 3 3 x bình 9 x 1 nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây
|
I. Tính đơn điệu của hàm số 1. Nhắc lại định nghĩa - Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói: Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). - Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. - Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2). f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2). b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.  Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải. 2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm - Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. - Chú ý: Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K. Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số a) y = x2 + 2x – 10; b) y=x+ 52x-3. Lời giải: Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2 Và y’ = 0 khi x = – 1. Lập bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞;-1). b) y=x+ 52x-3 Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32 Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32 Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞;32) và (32;+∞). - Chú ý: Ta có định lí mở rộng sau đây: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R. Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2 Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2. Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\). II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. 1. Quy tắc - Bước 1. Tìm tập xác định. - Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. - Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. Áp dụng Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x. Ta có: y’ = 4x3 – 4x y’ = 0 ⇔[x=0x=±1 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞) Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1). Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x. Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9 Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞). Page 2
I. Tính đơn điệu của hàm số 1. Nhắc lại định nghĩa - Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói: Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). - Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. - Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2). f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2). b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải. Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải. 2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm - Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. - Chú ý: Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K. Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số a) y = x2 + 2x – 10; b) y=x+ 52x-3. Lời giải: Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2 Và y’ = 0 khi x = – 1. Lập bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞;-1). b) y=x+ 52x-3 Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32 Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32 Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞;32) và (32;+∞). - Chú ý: Ta có định lí mở rộng sau đây: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R. Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2 Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2. Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\). II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. 1. Quy tắc - Bước 1. Tìm tập xác định. - Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. - Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. Áp dụng Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x. Ta có: y’ = 4x3 – 4x y’ = 0 ⇔[x=0x=±1 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞) Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1). Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x. Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9 Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞). Page 3
I. Tính đơn điệu của hàm số 1. Nhắc lại định nghĩa - Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói: Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). - Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. - Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2). f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2). b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải. Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải. 2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm - Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. - Chú ý: Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K. Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số a) y = x2 + 2x – 10; b) y=x+ 52x-3. Lời giải: Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2 Và y’ = 0 khi x = – 1. Lập bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞;-1). b) y=x+ 52x-3 Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32 Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32 Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞;32) và (32;+∞). - Chú ý: Ta có định lí mở rộng sau đây: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R. Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2 Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2. Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\). II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. 1. Quy tắc - Bước 1. Tìm tập xác định. - Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. - Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. Áp dụng Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x. Ta có: y’ = 4x3 – 4x y’ = 0 ⇔[x=0x=±1 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞) Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1). Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x. Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9 Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞). Page 4
I. Tính đơn điệu của hàm số 1. Nhắc lại định nghĩa - Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói: Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). - Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. - Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2). f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2). b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải. Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải. 2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm - Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. - Chú ý: Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K. Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số a) y = x2 + 2x – 10; b) y=x+ 52x-3. Lời giải: Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2 Và y’ = 0 khi x = – 1. Lập bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞;-1). b) y=x+ 52x-3 Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32 Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32 Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞;32) và (32;+∞). - Chú ý: Ta có định lí mở rộng sau đây: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R. Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2 Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2. Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\). II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. 1. Quy tắc - Bước 1. Tìm tập xác định. - Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. - Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. Áp dụng Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x. Ta có: y’ = 4x3 – 4x y’ = 0 ⇔[x=0x=±1 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞) Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1). Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x. Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9 Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞). Page 5
I. Tính đơn điệu của hàm số 1. Nhắc lại định nghĩa - Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói: Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). - Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. - Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: a) f(x) đồng biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2). f(x) nghịch biến trên K ⇔f(x2)-f(x1)x2-x1< 0;∀x1;x2∈K;(x1≠x2). b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải. Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải. 2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm - Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. - Chú ý: Nếu f’(x) = 0 với ∀x∈K thì f(x) không đổi trên K. Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số a) y = x2 + 2x – 10; b) y=x+ 52x-3. Lời giải: Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2 Và y’ = 0 khi x = – 1. Lập bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞;-1). b) y=x+ 52x-3 Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32 Ta có: y'=-13(2x-3)2<0∀x≠32 Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞;32) và (32;+∞). - Chú ý: Ta có định lí mở rộng sau đây: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)≥0(f'(x)≤0);∀x∈K Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x∈R. Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2 Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với ∀x≠2. Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\). II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. 1. Quy tắc - Bước 1. Tìm tập xác định. - Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. - Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. Áp dụng Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x. Ta có: y’ = 4x3 – 4x y’ = 0 ⇔[x=0x=±1 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và (1;+∞) Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1) và (0; 1). Ví dụ 4. Cho hàm số y=-x3+6x2- 9x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x. Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9 Và y’ = 0 ⇔[x= 1x= 3 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên (-∞; 1) và (3;+∞). |
