Hai biến cố xung khắc nhau cố phụ thuộc nhau hay không vì sao

Câu hỏi: Thế nào là hai biến cố độc lập?

Lời giải:

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Cùng Top lời giải đi tìm hiểu chi tiết về hai biến cố độc lập nhé.

1. Định nghĩa:

* Định nghĩa 1:

- Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Thí dụ:Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên từ bình ra 1 quả cầu. Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh“. Hiển nhiên P(A) = 5/9 . Quả cầu lấy ra được bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu. Gọi B là biến cố “lần thứ 2 lấy được quả cầu xanh“, P(B) = 5/9. Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra và ngược lại. Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau.

Trong thực tế việc nhận biết tính độc lập, phụ thuộc, xung khắc của các biến cố. chủ yếu dựa vào trực giác.

* Định nghĩa 2:Các biến cố A1, A2, …, An, được gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp hai biến cố bất kỳ trong n biến cố đó độc lập với nhau.

Thí dụ: Xét phép thử từng đồng xu 3 lần. Gọi Ai là biến cố: “được mặt sấp ở lần tung thứ i” (i = 1, 2, 3). Rõ ràng mỗi cặp hai trong 3 biến cố đó độc lập với nhau. Vậy A1, A2, A3 độc lập từng đôi.

* Định nghĩa 3: các biến cố A1, A2, …, An, được gọi là độc lập từng phần nếu mỗi biến cố độc lập với tích của một tổng hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại.

Ta chú ý là các biến cố độc lập từng đội thì chưa chắc độc lập toàn phần. Điều kiện độc lập toàn phần mạnh hơn độc lập từng đôi.

Hệ quả:Từ định lý trên ta có thể suy ra một số hệ quả sau đây:

Hệ quả 1:

Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích xác suất của các biến cố đó: P(A.B) = P(A).P(B).

Hệ quả 2:

Xác suất của tích n biến cố bằng tích xác suất của các biến cố đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp sau đều được tính với điều kiện tấc cả các biến cố trước đó đã xảy ra:

Hệ quả 3:

Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích xác suất của các biến cố đó:

P(A1.A2 … An) = P(A1).P(A2) … P(An)

2. Quy tắc nhân xác suất

- Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

    P(AB) = P(A).P(B)

- Quy tắc nhân xác suất cho nhiều biến cố: Nếu k biến cố A1, A2, …,A3độc lập với nhau thì

    P(A1A2…Ak) = P(A1).P(A2) … P(Ak)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Một chiếc máy bay có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,6 và 0,8. Hãy tính xác suất để

a) Cả hai động cơ đều chạy tốt

b) Cả hai động cơ đều chạy không tốt

Hướng dẫn

a) Gọi A là biến cố: “Động cơ I chạy tốt”

B là biến cố: “Động cơ II chạy tốt”

C là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt”

Khi đó: C = AB

Vì hai động cơ I và II hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, ta có

    P(C) = P(A).P(B) = 0,6 . 0,8 = 0,48

Ví dụ 2.Bốn khẩu pháo cao xạ A, B, C, D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là

Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng.

Hướng dẫn

Vì A, B, C, D cùng bắn độc lập nên ta có xác suất mục tiêu không bị bắn trúng là

Vậy xác suất để mục tiêu bị bắn trúng là

   

Với mỗi sự kiện  đều có duy nhất một tập hợp  \({\Omega _A}\) là tập hợp các kết quả thuận lợi cho sự kiện  hay nói cách khác làm cho sự kiện  xảy ra. Ta đồng nhất  với . Khi đó chính là tập hợp các kết quả thuận lợi cho . Ta thấy là một tập con của không gian mẫu , và ta gọi  là một biến cố. Như vậy mỗi tập con  của không gian mẫu  được gọi là một biến cố. Ta thường dùng các chữ cái in hoa  để ký hiệu biến cố.

Ví dụ

Gieo con xúc sắc một lần, đây là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu , trong đó  là kết quả: “Xuất hiện mặt  chấm”. Xét sự kiện : “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn”. Ta thấy rằng việc xảy ra hay không xảy ra sự kiện  tùy thuộc vào kết quả của phép thử. Sự kiện  xảy ra khi và chỉ khi kết quả của phép thử là 2, hoặc 4, hoặc 6. Các kết quả này được gọi là các kết quả thuận lợi cho . Gọi  là tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho , khi đó , đó là một tập con của .

Mỗi biến cố  được đồng nhất với tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho  là . Do đó ta có thể viết

2) Các loại biến cố

Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:

 Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên, biến cố này trùng với không gian mẫu .
Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi  là biến cố: “Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm ” thì  là biến cố chắc chắn.

 Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên. Biến cố không thể được ký hiệu là .

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi  là biến cố: “ Xuất hiện mặt 7 chấm” thì  là biến cố không thể.

3) Quan hệ giữa các biến cố

a) Quan hệ kéo theo

Biến cố  được gọi là kéo theo biến cố  và ký hiệu  hoặc  nếu  xảy ra thì  xảy ra.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc, gọi  là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”,  là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”. Ta thấy nếu  xảy ra thì  cũng xảy ra. Do đó biến cố  kéo theo biến cố .

b) Biến cố đối

Biến cố đối của biến cố  được kí hiệu là  và được xác định như sau:  xảy ra khi và chỉ khi  không xảy ra.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc. Gọi  là biến cố: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”,  là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”. Rõ ràng  và  là hai biến cố đối nhau.

c) Tổng của các biến cố

Tổng của hai biến cố  và  là biến cố được ký hiệu . Biến cố  xảy ra khi ít nhất có một trong hai biến cố  và  xảy ra.

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên từ hai lớp 10A, 10B mỗi lớp một học sinh. Gọi  là biến cố: “Bạn chọn từ lớp 10A là nam” ,  là biến cố: “Bạn chọn từ lớp 10B là nam” và C là biến cố: “Chọn được học sinh nam”. Rõ ràng biến cố  xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố  và  xảy ra. Vậy .

Nếu  là các biến cố thì tổng của chúng là biến cố xảy ra nếu ít nhất có một biến cố nào đó trong các biến cố  xảy ra. Ta kí hiệu tổng của  là  hoặc .

d) Tích của các biến cố

Tích của hai biến cố  và  là biến cố xảy ra nếu cả hai biến cố  và  đều xảy ra. Ta kí hiệu tích của hai biến cố  và  là .

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi  là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”,  là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ” và  là biến cố: “Xuất hiện mặt 4 chấm”. Ta thấy rằng biến cố  xảy ra khi và chỉ khi hai biến cố  và đều xảy ra. Do đó .

Tích của các biến cố  là một biến cố xảy ra nếu tất cả các biến cố  đều xảy ra. Ta kí hiệu tích của  là  hoặc .

e) Hai biến cố tương đương

Hai biến cố  và  gọi là tương đương nếu  và . Khi đó ta kí hiệu .

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc, gọi  là biến cố: “Xuất hiện mặt 5 chấm”,  là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm lớn hơn 3”. Ta thấy nếu  xảy ra thì  cũng xảy ra và ngược lại nếu  xảy ra thì  cũng xảy ra. Vậy .

f) Biến cố xung khắc

Hai biến cố  và  được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra, nghĩa là  là biến cố không thể, .

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi  là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”,  là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”. Ta thấy hai biến cố và  không cùng xảy ra, do đó  và  là hai biến cố xung khắc.

4) Một số tính chất quan trọng trong quan hệ giữa các biến cố

 Tính giao hoán:

 Tính kết hợp:

 Tính phân phối: