Hai biến cố xung khắc nhau cố phụ thuộc nhau hay không vì sao
Câu hỏi: Thế nào là hai biến cố độc lập? Lời giải: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Cùng Top lời giải đi tìm hiểu chi tiết về hai biến cố độc lập nhé. 1. Định nghĩa:* Định nghĩa 1: - Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Thí dụ:Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên từ bình ra 1 quả cầu. Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh“. Hiển nhiên P(A) = 5/9 . Quả cầu lấy ra được bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu. Gọi B là biến cố “lần thứ 2 lấy được quả cầu xanh“, P(B) = 5/9. Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra và ngược lại. Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau. Trong thực tế việc nhận biết tính độc lập, phụ thuộc, xung khắc của các biến cố. chủ yếu dựa vào trực giác. * Định nghĩa 2:Các biến cố A1, A2, …, An, được gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp hai biến cố bất kỳ trong n biến cố đó độc lập với nhau. Thí dụ: Xét phép thử từng đồng xu 3 lần. Gọi Ai là biến cố: “được mặt sấp ở lần tung thứ i” (i = 1, 2, 3). Rõ ràng mỗi cặp hai trong 3 biến cố đó độc lập với nhau. Vậy A1, A2, A3 độc lập từng đôi. * Định nghĩa 3: các biến cố A1, A2, …, An, được gọi là độc lập từng phần nếu mỗi biến cố độc lập với tích của một tổng hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại. Ta chú ý là các biến cố độc lập từng đội thì chưa chắc độc lập toàn phần. Điều kiện độc lập toàn phần mạnh hơn độc lập từng đôi. Hệ quả:Từ định lý trên ta có thể suy ra một số hệ quả sau đây: Hệ quả 1: Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích xác suất của các biến cố đó: P(A.B) = P(A).P(B). Hệ quả 2: Xác suất của tích n biến cố bằng tích xác suất của các biến cố đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp sau đều được tính với điều kiện tấc cả các biến cố trước đó đã xảy ra: Hệ quả 3: Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích xác suất của các biến cố đó: P(A1.A2 … An) = P(A1).P(A2) … P(An) 2. Quy tắc nhân xác suất- Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A).P(B) - Quy tắc nhân xác suất cho nhiều biến cố: Nếu k biến cố A1, A2, …,A3độc lập với nhau thì P(A1A2…Ak) = P(A1).P(A2) … P(Ak) 3. Ví dụ minh họaVí dụ 1.Một chiếc máy bay có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,6 và 0,8. Hãy tính xác suất để a) Cả hai động cơ đều chạy tốt b) Cả hai động cơ đều chạy không tốt Hướng dẫn a) Gọi A là biến cố: “Động cơ I chạy tốt” B là biến cố: “Động cơ II chạy tốt” C là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt” Khi đó: C = AB Vì hai động cơ I và II hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập. Áp dụng quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, ta có P(C) = P(A).P(B) = 0,6 . 0,8 = 0,48 Ví dụ 2.Bốn khẩu pháo cao xạ A, B, C, D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng. Hướng dẫn Vì A, B, C, D cùng bắn độc lập nên ta có xác suất mục tiêu không bị bắn trúng là Vậy xác suất để mục tiêu bị bắn trúng là
Với mỗi sự kiện đều có duy nhất một tập hợp \({\Omega _A}\) là tập hợp các kết quả thuận lợi cho sự kiện hay nói cách khác làm cho sự kiện xảy ra. Ta đồng nhất với . Khi đó chính là tập hợp các kết quả thuận lợi cho . Ta thấy là một tập con của không gian mẫu , và ta gọi là một biến cố. Như vậy mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. Ta thường dùng các chữ cái in hoa để ký hiệu biến cố. Ví dụ Gieo con xúc sắc một lần, đây là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu , trong đó là kết quả: “Xuất hiện mặt chấm”. Xét sự kiện : “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn”. Ta thấy rằng việc xảy ra hay không xảy ra sự kiện tùy thuộc vào kết quả của phép thử. Sự kiện xảy ra khi và chỉ khi kết quả của phép thử là 2, hoặc 4, hoặc 6. Các kết quả này được gọi là các kết quả thuận lợi cho . Gọi là tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho , khi đó , đó là một tập con của . Mỗi biến cố được đồng nhất với tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho là . Do đó ta có thể viết 2) Các loại biến cố Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây: Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên, biến cố này trùng với không gian mẫu . Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên. Biến cố không thể được ký hiệu là . Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “ Xuất hiện mặt 7 chấm” thì là biến cố không thể. 3) Quan hệ giữa các biến cố a) Quan hệ kéo theo Biến cố được gọi là kéo theo biến cố và ký hiệu hoặc nếu xảy ra thì xảy ra. Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”, là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”. Ta thấy nếu xảy ra thì cũng xảy ra. Do đó biến cố kéo theo biến cố . b) Biến cố đối Biến cố đối của biến cố được kí hiệu là và được xác định như sau: xảy ra khi và chỉ khi không xảy ra. Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc. Gọi là biến cố: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”, là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”. Rõ ràng và là hai biến cố đối nhau. c) Tổng của các biến cố Tổng của hai biến cố và là biến cố được ký hiệu . Biến cố xảy ra khi ít nhất có một trong hai biến cố và xảy ra. Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên từ hai lớp 10A, 10B mỗi lớp một học sinh. Gọi là biến cố: “Bạn chọn từ lớp 10A là nam” , là biến cố: “Bạn chọn từ lớp 10B là nam” và C là biến cố: “Chọn được học sinh nam”. Rõ ràng biến cố xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố và xảy ra. Vậy . Nếu là các biến cố thì tổng của chúng là biến cố xảy ra nếu ít nhất có một biến cố nào đó trong các biến cố xảy ra. Ta kí hiệu tổng của là hoặc . d) Tích của các biến cố Tích của hai biến cố và là biến cố xảy ra nếu cả hai biến cố và đều xảy ra. Ta kí hiệu tích của hai biến cố và là . Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”, là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ” và là biến cố: “Xuất hiện mặt 4 chấm”. Ta thấy rằng biến cố xảy ra khi và chỉ khi hai biến cố và đều xảy ra. Do đó . Tích của các biến cố là một biến cố xảy ra nếu tất cả các biến cố đều xảy ra. Ta kí hiệu tích của là hoặc . e) Hai biến cố tương đương Hai biến cố và gọi là tương đương nếu và . Khi đó ta kí hiệu . Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “Xuất hiện mặt 5 chấm”, là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm lớn hơn 3”. Ta thấy nếu xảy ra thì cũng xảy ra và ngược lại nếu xảy ra thì cũng xảy ra. Vậy . f) Biến cố xung khắc Hai biến cố và được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra, nghĩa là là biến cố không thể, . Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”, là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm ”. Ta thấy hai biến cố và không cùng xảy ra, do đó và là hai biến cố xung khắc. 4) Một số tính chất quan trọng trong quan hệ giữa các biến cố Tính giao hoán: Tính kết hợp: Tính phân phối: |