Đề bài
A. TRẮC NGHIỆM [5,0 điểm]
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu a // b và \[\left[ \alpha \right] \bot a\] thì \[\left[ \alpha \right] \bot b\].
B. Nếu \[\left[ \alpha \right]\parallel \left[ \beta \right]\] và \[a \bot \left[ \alpha \right]\] thì \[a \bot \left[ \beta \right]\].
C. Nếu \[\left[ \alpha \right]\] và \[\left[ \beta \right]\] là hai mặt phẳng phân biệt và \[a \bot \left[ \alpha \right]\], \[a \bot \left[ \beta \right]\] thì \[\left[ \alpha \right]\parallel \left[ \beta \right]\].
D. Nếu \[a\parallel \left[ \alpha \right]\] và \[b \bot a\] thì \[b \bot \left[ \alpha \right]\].
Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số \[y = 3\cos x + 1\].
A. \[y' = 3\sin x\]
B. \[y' = - 3\sin x + 1\]
C. \[y' = - 3\sin x\]
D. \[y' = - \sin x\]
Câu 3: Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{\left| {x - 1} \right|}}\].
A. 5 B. 0
C. \[ + \infty \] D. -5
Câu 4: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\3a - 5b - 1\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\]. Tìm điều kiện của tham số a và b để hàm số liên tục tại điểm \[x = 0\].
A. \[2a - 6b = 1\]
B. \[2a - 4b = 1\]
C. \[16a - 33b = 6\]
D. \[a - 8b = 1\]
Câu 5: Cho hàm số \[y = {\sin ^2}x\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \[4y.{\cos ^2}x - {\left[ {y'} \right]^2} = - 2{\sin ^2}2x\]
B. \[4y{\cos ^2}x - {\left[ {y'} \right]^2} = 0\]
C. \[2\sin x - y' = 0\]
D. \[{\sin ^2}x + y' = 1\]
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có \[SA \bot \left[ {ABCD} \right]\] và đáy ABCD là hình vuông. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \[\left[ {SAC} \right] \bot \left[ {SBD} \right]\]
B. \[\left[ {SAD} \right] \bot \left[ {SBC} \right]\]
C. \[AC \bot \left[ {SAB} \right]\]
D. \[BD \bot \left[ {SAD} \right]\]
Câu 7: Tìm vi phân của hàm số \[y = 3{x^2} - 2x + 1\].
A. \[dy = 6x - 2\]
B. \[dy = \left[ {6x - 2} \right]dx\]
C. \[dx = \left[ {6x - 2} \right]dy\]
D. \[dy = 6x - 2dx\]
Câu 8: Một chất điểm chuyển động theo phương trình \[S = {t^3} + 5{t^2} - 5\], trong đó \[t > 0\], t được tính bằng giây [s] và S được tính bằng mét [m]. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[t = 2\] [giây].
A. 32 m/s B. 22 m/s
C. 27 m/s D. 28 m/s
Câu 9: Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 5}}{{x - 1}}\].
A. 3 B. 1
C. -5 D. \[ + \infty \]
Câu 10: Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và \[SB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng [SBC].
A. \[d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\]
B. \[d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = \frac{a}{2}\]
C. \[d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = a\]
D. \[d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Câu 11: Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \]
B. \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]
C. \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \]
D. \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \]
Câu 12: Tính \[\lim \frac{{5n + 1}}{{3n + 7}}\].
A. \[\frac{5}{7}\] B. \[\frac{5}{3}\]
C. \[\frac{1}{7}\] D. \[0\]
Câu 13: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \[y = \frac{1}{{x + 2}}\].
A. \[y'' = \frac{2}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^3}}}\]
B. \[y'' = \frac{{ - 2}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^3}}}\]
C. \[y'' = \frac{{ - 1}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^3}}}\]
D. \[y'' = \frac{1}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^3}}}\]
Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.ABCD. Gọi \[\alpha \] là góc giữa hai đường thẳng AB và CB. Tính \[\alpha \].
A. \[\alpha = {30^0}\] B. \[\alpha = {45^0}\]
C. \[\alpha = {60^0}\] D. \[\alpha = {90^0}\]
Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số \[y = {x^3} - 2x\].
A. \[y' = 3x - 2\]
B. \[y' = 3{x^2} - 2\]
C. \[y' = {x^3} - 2\]
D. \[y' = 3{x^2} - 2x\]
B. PHẦN TỰ LUẬN [5,0 điểm]
Bài 1 [2,0 điểm]:
a] Tìm \[\lim \frac{{5 + n}}{{4 - n}}\].
b] Tìm \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}}\].
c] Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 7x + 10}}{{x - 5}}\,\,\,khi\,\,x \ne 5\\\,\,\,\,\,2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 5\end{array} \right.\]. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số liên tục tại \[x = 5\]
Bài 2 [1,0 điểm]: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = {x^3} + {x^2} - 1\] có đồ thị \[\left[ C \right]\].
a] Tính đạo hàm của hàm số trên.
b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[\left[ C \right]\] tại điểm có hoành độ \[{x_0} = 1\].
Bài 3 [2,0 điểm]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; các cạnh bên của hình chóp cùng bằng \[a\sqrt 3 \].
a] Chứng minh rằng \[BD \bot \left[ {SAC} \right]\].
b] Gọi [P] là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng [P].
c] Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng [P].
Lời giải chi tiết
A. TRẮC NGHIỆM [5,0 điểm]
|
1. D |
2. C |
3. D |
4. C |
5. B |
|
6. A |
7. B |
8. A |
9. A |
10. D |
|
11. D |
12. B |
13. A |
14. C |
15. B |
Câu 1 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng các quan hệ song song, vuông góc trong không gian.
Cách giải:
Dễ thấy đáp án D sai, minh họa như hình vẽ dưới đây cho thấy \[b\parallel \left[ \alpha \right]\].
Chọn D.
Câu 2 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức đạo hàm hàm số lượng giác: \[\left[ {\cos x} \right]' = - \sin x\].
Cách giải:
Ta có: \[y' = - 3\sin x\].
Chọn C.
Câu 3 [TH]:
Phương pháp:
- Xét dấu để phá trị tuyệt đối.
- Phân tích tử thành nhân tử và rút gọn sau đó tính giới hạn.
Cách giải:
Khi \[x \to {1^ - }\] thì \[x < 1 \Rightarrow x - 1 < 0\] nên \[\left| {x - 1} \right| = - \left[ {x - 1} \right]\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{\left| {x - 1} \right|}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 4} \right]}}{{ - \left[ {x - 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ { - x - 4} \right] = - 1 - 4 = - 5.\end{array}\]
Chọn D.
Câu 4 [VD]:
Phương pháp:
- Để hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại điểm \[x = {x_0}\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\].
- Để tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right]\], ta thêm bớt và tách thành 2 giới hạn dạng 0/0, sau đó sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
Cách giải:
TXĐ: \[D = \mathbb{R},\,\,x = 0 \in D\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - 1}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \sqrt {1 - bx} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left[ {\sqrt[3]{{ax + 1}} - 1} \right]\left[ {{{\sqrt[3]{{ax + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\sqrt[3]{{ax + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1} \right]}}\\ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left[ {1 - \sqrt {1 - bx} } \right]\left[ {1 + \sqrt {1 - bx} } \right]}}{{x\left[ {1 + \sqrt {1 - bx} } \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ax + 1 - 1}}{{x\left[ {{{\sqrt[3]{{ax + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1} \right]}}\\ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - 1 + bx}}{{x\left[ {1 + \sqrt {1 - bx} } \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{a}{{{{\sqrt[3]{{ax + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1}}\\ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{b}{{1 + \sqrt {1 - bx} }}\\ = \frac{a}{{1 + 1 + 1}} + \frac{b}{{1 + 1}}\\ = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}\end{array}\]
\[f\left[ 0 \right] = 3a - 5b - 1\].
Để hàm số liên tục tại \[x = 0\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left[ x \right] = f\left[ 0 \right]\]
\[ \Leftrightarrow \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 3a - 5b - 1\] \[ \Leftrightarrow \frac{8}{3}a - \frac{{11}}{2}b = 1\]\[ \Leftrightarrow 16a - 33b = 6\]
Chọn C.
Câu 5 [VD]:
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp và hàm số lượng giác để tính \[y'\].
- Thay \[y'\] vào các đẳng thức ở các đáp án.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}y' = \left[ {{{\sin }^2}x} \right]' = 2\sin x.\left[ {\sin x} \right]'\\\,\,\,\,\, = 2\sin x.\cos x = \sin 2x\end{array}\]
Thay vào đáp án B ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4y{\cos ^2}x - {\left[ {y'} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x - {\left[ {\sin 2x} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {2\sin x\cos x} \right]^2} - {\left[ {\sin 2x} \right]^2} = 0\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {\sin 2x} \right]^2} - {\left[ {\sin 2x} \right]^2} = 0\] [luôn đúng].
Chọn B.
Câu 6 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng các định lí sau:
+] \[\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left[ P \right]\].
+] \[\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left[ P \right]\\d \subset \left[ Q \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ P \right] \bot \left[ Q \right]\].
Cách giải:
Vì ABCD là hình vuông nên \[AC \bot BD\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left[ {SAC} \right]\].
\[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot \left[ {SAC} \right]\\BD \subset \left[ {SBD} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {SAC} \right] \bot \left[ {SBD} \right]\].
Vậy mệnh đề đúng là A.
Chọn A.
Câu 7 [NB]:
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính vi phân: \[y = f\left[ x \right] \Rightarrow dy = f'\left[ x \right]dx\].
- Sử dụng công thức tính đạo hàm: \[\left[ {{x^n}} \right]' = n.{x^{n - 1}}\].
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}dy = \left[ {3{x^2} - 2x + 1} \right]dx\\dy = \left[ {6x - 2} \right]dx\end{array}\]
Chọn B.
Câu 8 [NB]:
Phương pháp:
Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[t = {t_0}\] được tính theo công thức \[v\left[ {{t_0}} \right] = S'\left[ {{t_0}} \right]\].
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}v = s'\left[ t \right] = 3{t^2} + 10t\\ \Rightarrow v\left[ 2 \right] = {3.2^2} + 10.2 = 32\,\,\left[ {m/s} \right]\end{array}\]
Chọn A.
Câu 9 [NB]:
Phương pháp:
Hàm số xác định tại \[x = {x_0}\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 5}}{{x - 1}} = \frac{{4 + 5}}{{4 - 1}} = \frac{9}{3} = 3.\]
Chọn A.
Câu 10 [VD]:
Phương pháp:
- Đổi điểm về tính khoảng cách từ O đến [SBC].
- Xác định mặt phẳng chứa O và vuông góc với [SBC].
- Trong mặt phẳng đó kẻ đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đó và [SBC].
- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cách giải:
Gọi \[O = AC \cap BD\]. Vì chóp S.ABCD đều nên \[SO \bot \left[ {ABCD} \right]\].
Ta có: \[AO \cap \left[ {SBC} \right] = C\]\[ \Rightarrow \frac{{d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right]}}{{d\left[ {O;\left[ {SBC} \right]} \right]}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2\]
\[ \Rightarrow d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = 2d\left[ {O;\left[ {SBC} \right]} \right]\].
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra OM là đường trung bình của tam giác ABC.
\[ \Rightarrow OM\parallel AB\] và \[OM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\]. Mà \[AB \bot BC\] nên \[OM \bot BC\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {SOM} \right]\].
\[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left[ {SOM} \right]\\BC \subset \left[ {SBC} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ {SOM} \right] \bot \left[ {SBC} \right]\] và \[\left[ {SOM} \right] \cap \left[ {SBC} \right] = SM\].
Trong [SOM] kẻ \[OH \bot SM\] ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {SBC} \right] \bot \left[ {SOM} \right]\\\left[ {SBC} \right] \cap \left[ {SOM} \right] = SM\\OH \subset \left[ {SOM} \right],\,\,OH \bot SM\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow OH \bot \left[ {SBC} \right]\]
Do đó \[d\left[ {O;\left[ {SBC} \right]} \right] = OH\] và \[d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = 2OH\].
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \[AC = BD = a\sqrt 2 \] \[ \Rightarrow OB = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOB có: \[SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} \]\[ = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM có:
\[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}}\]\[ = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{8}{{{a^2}}}\] \[ \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\].
Vậy \[d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = 2OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Chọn D.
Câu 11 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác BCD thì \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \].
Cách giải:
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD thì \[\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \].
Chọn D.
Câu 12 [NB]:
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho n.
Cách giải:
\[\lim \frac{{5n + 1}}{{3n + 7}} = \lim \frac{{5 + \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{7}{n}}} = \frac{5}{3}.\]
Chọn B.
Câu 13 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm: \[\left[ {\frac{1}{u}} \right]' = \frac{{ - u'}}{{{u^2}}}\].
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}y' = \left[ {\frac{1}{{x + 2}}} \right]' = \frac{{ - \left[ {x + 2} \right]'}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\\y'' = \left[ {\frac{{ - 1}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}} \right]' = \frac{{\left[ {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}} \right]'}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^4}}}\\ = \frac{{2\left[ {x + 2} \right].\left[ {x + 2} \right]'}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^4}}} = \frac{2}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^3}}}\end{array}\]
Chọn A.
Câu 14 [VD]:
Phương pháp:
- Sử dụng định lí: \[a\parallel b \Rightarrow \angle \left[ {a;c} \right] = \angle \left[ {b;c} \right]\].
- Áp dụng định lí Cosin trong tam giác: \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\].
Cách giải:
Vì ABCD là hình bình hành [BC = AD và BC // AD] nên AB // CD
\[ \Rightarrow \angle \left[ {A'B;CB'} \right] = \angle \left[ {CD';CB'} \right]\].
Do BCCB, CDDC, ABCD là các hình vuông cạnh a nên \[B'C = CD' = B'D' = a\sqrt 2 \].
Do đó tam giác BCD là tam giác đều nên \[\angle B'CD' = {60^0}\].
Vậy \[\angle \left[ {A'B;CB'} \right] = \angle \left[ {CD';CB'} \right]\]\[ = \angle B'CD' = {60^0}\] hay \[\alpha = {60^0}\].
Chọn C.
Câu 15 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm \[\left[ {{x^n}} \right]' = n.{x^{n - 1}}\].
Cách giải:
Ta có: \[y' = \left[ {{x^3} - 2x} \right]' = 3{x^2} - 2\].
Chọn B.
B. PHẦN TỰ LUẬN [5,0 điểm]
Bài 1:
Phương pháp:
a] Chia cả tử và mẫu cho n.
b] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử.
Rút gọn để khử dạng 0/0 và tính giới hạn.
c] Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[x = {x_0}\] khi và chỉ khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
a] \[\lim \frac{{5 + n}}{{4 - n}} = \lim \frac{{\frac{5}{n} + 1}}{{\frac{4}{n} - 1}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1.\]
b] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 1 - 4}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {\sqrt {x + 1} + 2} \right]}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt 4 + 2}} = \frac{1}{4}.\]
c] TXĐ: \[D = \mathbb{R},\,\,x = 5 \in D\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 7x + 10}}{{x - 5}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left[ {x - 5} \right]\left[ {x - 2} \right]}}{{x - 5}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left[ {x - 2} \right] = 5 - 2 = 3.\\f\left[ 5 \right] = 2m - 1\end{array}\]
Để hàm số liên tục tại \[x = 5\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left[ x \right] = f\left[ 5 \right]\] \[ \Leftrightarrow 2m - 1 = 3 \Leftrightarrow m = 2.\]
Bài 2:
Phương pháp:
a] Sử dụng công thức tính đạo hàm \[\left[ {{x^n}} \right]' = n.{x^{n - 1}}\].
b] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là: \[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\].
Cách giải:
a] \[f'\left[ x \right] = 3{x^2} + 2x\].
b] Ta có: \[f'\left[ 1 \right] = {3.1^2} + 2.1 = 5\] và \[f\left[ 1 \right] = {1^3} + {1^2} - 1 = 1\].
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[\left[ C \right]\] tại điểm có hoành độ \[{x_0} = 1\] là:
\[y = 5\left[ {x - 1} \right] + 1 = 5x - 4\].
Bài 3:
Cách giải:
Gọi \[O = AC \cap BD\]. Vì chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên bằng nhau nên \[SO \bot \left[ {ABCD} \right]\].
a] Vì ABCD là hình vuông nên \[AC \bot BD\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\,\,\left[ {SO \bot \left[ {ABCD} \right]} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow BD \bot \left[ {SAC} \right]\]
b] Trong [SAC] kẻ \[AM \bot SC\,\,\left[ {M \in SC} \right]\] \[ \Rightarrow AM \subset \left[ P \right]\].
Trong [SAC] gọi \[AM \cap SO = H\].
Ta có: \[BD \bot \left[ {SAC} \right]\,\,\left[ {cmt} \right] \Rightarrow BD \bot SC\].
Mà \[\left[ P \right] \bot SC \Rightarrow BD\parallel \left[ P \right]\].
Xét [P] và [SBD] có:
H là điểm chung
\[BD \subset \left[ {SBD} \right],\,\,BD\parallel \left[ P \right]\]
\[ \Rightarrow \] Giao tuyến [P] và [SBD] là đường thẳng đi qua H và song song với BD.
Trong [SBD] qua H kẻ NP // BD \[\left[ {N \in SD,\,\,P \in SA} \right]\].
Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi [P] là tứ giác ANMP.
c] Trong [SAC] kẻ \[OK \bot AM\,\,\left[ {K \in AM} \right]\].
Ta có: \[BD \bot \left[ {SAC} \right]\,\,\,\left[ {cmt} \right],\,\,\]\[BD\parallel \left[ P \right]\] \[ \Rightarrow \left[ P \right] \bot \left[ {SAC} \right]\].
\[\left\{ \begin{array}{l}\left[ P \right] \bot \left[ {SAC} \right]\\\left[ P \right] \cap \left[ {SAC} \right] = AM\\OK \subset \left[ {SAC} \right],\,\,OK \bot AM\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow OK \bot \left[ P \right]\]
Hạ \[BQ \bot \left[ P \right]\] ta có: \[OB\parallel PN\,\,\,\left[ {do\,\,BD\parallel PN} \right]\]
\[ \Rightarrow d\left[ {B;\left[ P \right]} \right] = d\left[ {O;\left[ P \right]} \right]\]\[ \Rightarrow BQ = OK\]
\[ \Rightarrow \] AQ là hình chiếu của AB lên [P] \[ \Rightarrow \angle \left[ {AB;\left[ P \right]} \right] = \angle \left[ {AB;AQ} \right]\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}OK \bot \left[ P \right]\\SC \bot \left[ P \right]\,\,\left[ {gt} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow OK\parallel SC \Rightarrow OK\parallel CM\]
Lại có O là trung điểm của AC nên suy ra K là trung điểm của AM [định lí đường trung bình của tam giác].
\[ \Rightarrow OK\] là đường trung bình của tam giác AMC \[ \Rightarrow OK = \frac{1}{2}MC\].
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \[AC = BD = a\sqrt 2 \].
Xét tam giác SAC ta có:
\[\begin{array}{l}\cos \angle SCA\\ = \frac{{A{C^2} + S{C^2} - S{A^2}}}{{2AC.SC}}\\ = \frac{{2{a^2} + 3{a^2} - 3{a^2}}}{{2.a\sqrt 2 .a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array}\]
Xét tam giác vuông AMC có: \[MC = AC.\cos \angle SCA\]\[ = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 6 }}{6} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
\[ \Rightarrow OK = \frac{1}{2}MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = PQ\].
Ta có \[BQ \bot \left[ P \right] \Rightarrow BQ \bot AQ\] \[ \Rightarrow \Delta ABQ\] vuông tại Q.
\[ \Rightarrow \sin \angle BAQ = \frac{{BQ}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\].
Vậy \[\angle BAQ \approx {16^0}47'\].
Nguồn: Sưu tầm