Đề bài - bài tập 4 trang 130 tài liệu dạy – học toán 7 tập 2 - hình học

Đề bài

Tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ \(BE \bot AN\,\,\left( {E \in AN} \right)\)

a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh tam giác GBC cân.

Lời giải chi tiết

a) BA = BN => ABN cân tại B.

Mà BE là đường cao của ABN (vì \(BE \bot AN\) tại E)

Nên BE cũng là đường phân giác của ABN

Vậy BE là tia phân giác của \(\widehat {ABN}.\)

b) ABN có hai đường cao BE và AH cắt nhau tại K (gt).

=> K là trực tâm của ABN

=> NK là đường cao của ABN

\( \Rightarrow NK \bot AB\)

Mà \(CA \bot AB\) (ABC vuông tại A)

Nên NK // CA.

c) Ta có: \(\widehat {NFC} = \widehat {FNK}\) (hai góc so le trong và NK // AC)

\(\widehat {NFC} = \widehat {AFG}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {FNK} = \widehat {AFG}\)

Mà \(\widehat {FNK}\) và \(\widehat {AFG}\) ở vị trí đồng vị. Nên AH // GN

Lại có \(AH \bot BC\) (AH là đường cao của ABC) \( \Rightarrow GN \bot BC.\)

Xét ABC và GNB ta có \(\widehat {BAC} = \widehat {BNG}( = 90^\circ )\)

AB = BN (gt)

\(\widehat {ABC}\) chung

Do đó: ABC = NBG (g.c.g) => BC = BG

Vậy BGC cân tại B.