Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm là một trong nhưng công thức toán học phổ biến nhất, đặc biệt là đối với các bạn học sinh cấp 3. Có thể nói, công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm chính là công thức cơ sở để từ đó, ta suy ra được các khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hay khoảng cách giữa 2 mặt phẳng,… Bài viết sau đây, sẽ tổng hợp cũng như ôn lại các kiến thức về tính toán khoảng cách giữa 2 điểm bất kì. Bên cạnh đó, bài viết cũng kết hợp một số ví dụ để các bạn có thể vận dụng các kiến thức học được vào bài tập.
Độ dài của một đoạn thẳng nối liền giữa hai điểm bất kì với nhau, thì ta gọi độ dài đó là khoảng cách giữa 2 điểm.
Vậy, công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì được dựa vào khái niệm độ dài đoạn thẳng nối liền 2 điểm như trên
Như vậy, tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì chính là việc tìm ra độ dài đoạn thẳng nối liền 2 điểm đã được cho trước [hoặc xác định trước].
Nhưng cần lưu ý rằng, khoảng cách [độ dài nối liền] giữa 2 điểm bất kỳ không phải là độ dài đường thẳng cũng không phải độ dài đoạn thẳng vuông góc nào khác.
Dựa trên các cơ sở trên, ta có công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ. Nhưng trước khi tìm hiểu về các công thức ấy, ta cần xác định được một vài các dạng bài toán tính khoảng cách giữa 2 điểm.
Tham khảo thêm các công thức khác :
Dạng bài toán tính khoảng cách trong các hình học mặt phảng thông thường là dạng tìm khoảng cách giữa 2 điểm cơ bản nhất trong toán học hình học. Đối với các dạng bài tập cơ bản này, thường đề bài sẽ cho chúng ta dữ liệu như điểm A nằm trên hình tam giác, hình bình hành, hình tròn, … Sau đó, nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm đáp án cho độ dài đoạn thẳng từ điểm A đến một điểm đã được xác định trước trong đề bài.
Lưu ý, đối với các dạng bài toán như trên, sẽ không có một công thức tính khoảng cách chung nào để tìm độ dài đoạn thẳng nối liền 2 điểm với nhau. Dạng toán này đòi hỏi ta phải sử dụng nhiều kiến thức về định nghĩa, tính chất cũng như các công thức có liên quan khác về hình học mà chúng ta đã được học cùng với nhưng dữ kiện mà đề bài đã cho trước để tìm ra đáp án cho câu hỏi độ dài đoạn thẳng giữa 2 điểm.
Đây là dạng bài toán tính khoảng cách giữa 2 điểm cụ thể hơn so với dạng bài tập tính độ dài khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng thông thường vừa đề cặp bên trên.
Đối với dạng bài tập này, thường chúng ta sẽ được cung cấp dư liệu về tọa độ của các điểm mà đề bài yêu cầu chúng ta tính khoảng cách trong mặt phẳng Oxy. Vì thế, không như dạng bài tập trên, ở dạng bài tập này chúng ta sẽ có các công thức tính khoảng cách chung để tìm khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Ví dụ như, trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A [x1, x2] và điểm B [y1, y2].
Trong đó:
- X1, Y1 là tọa độ trục x [theo phương nằm ngang]
- X2, Y2 là tọa độ trục y [theo phương thẳng đứng]
Cho đường thẳng [d] và điểm [A] cách đường thẳng [d] một khoảng bằng 1 cm. Vẽ một đường tròn tâm [A] với bán kính 3 cm. Lần lượt gọi B, C là casc giao điểm của đường thẳng [d] với đường tròn tâm [A]. Hay cho biết độ dài đoạn thẳng BC.
Lời giải:
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. AK đi qua trung điểm của BC
AK ⊥ BC
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABK, ta có:
Lưu ý: ngoài dạng toán ví dụ vừa nêu trên, còn rất nhiều các dạng bài toán khác về tìm khoảng cách giữa 2 điểm thông qua độ dài 1 đoạn thẳng trong mặt phẳng thông thường. Vì thê, các công thức tính khoảng cách đối với dạng toán này là rất đa dạng và phong phú. Ví dụ trên, chúng ta áp dụng công thức định lý Pytago để tìm ra đáp án cho khoảng cách giữa 2 điểm B và C.
Trong mặt phẳng Oxy, lần lượt cho 2 điểm M và N có tọa độa là: M [a; b] và điểm N [c; d]. Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm M và N được xác định bằng công thức tính khoảng cách như sau:
Ví dụ 1 :
Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm lần lược là A và B. Với điểm A [3; 5] và điểm B [2; 7]. Hãy xác định độ dài đoản thẳng AB trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Khi dó, độ dài nối liền 2 điểm A và B chính là khoảng cách giữa 2 điểm A và B.
Cũng tương tự như cách tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng Oxy. Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cũng tương tự như công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong mặt phẳng Oxy.
Trong mặt phẳng Oxyz, lần lượt cho 2 điểm M và N. trong đó tọa độ của điểm M [a; b; c] và điểm N [ d; e; f]. Khi này, khoảng cách giữa 2 điểm M và N trong mặt phẳng Oyz được xác định như sau:
Ví dụ 2 :
Trong mặt phẳng không gian Oxyz, lần lượt cho 2 điểm A và B với tọa độ A [1; 5; 2] và tọa độ điểm B [3; 6; 9]. Hãy cho biết khoảng cách giữa 2 điểm A và B trong mặt phẳng Oxyz.
So sánh giữa 2 công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong mặt phẳng Oxy và mặt phẳng Oxyz:
- Sự khác nhau dễ nhận biết nhất giữa công thức trong 2 mặt phẳng này chính là đối với công thức tính khoảng cách trong mặt phẳng Oxy chỉ có tọa độ về hoành độ và tung độ. Còn đối với công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong mặt phẳng không gian Oxyz có thêm sự góp mặt của cao độ.
- Còn điểm giống nhau chính là giữa cả hai công thức, chúng ta đều phải sử dụng căn bật hai để có thể tính toán được đáp án của khoảng cách giữa 2 tọa độ bất kì.
Thông qua việc so sánh 2 công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng không gian trên, chúng ta biết được điểm giống và khác nhau giữa 2 công thức. Từ đó, chúng ta có thể ghi nhớ chúng một cách nhanh hơn với câu thần chú để tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong mặt phẳng không gian là: “căn bật 2 tổng bình phương cuối trừ đầu”.
09:10:4620/10/2020
Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm, hay công thức tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng được sử dụng phổ biến trong hình học.
Không những thế, công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm, tính khoảng cách tử điểm tới đường thẳng còn là cơ sở để các em tính được khoảng cách giữa 2 đường thẳng, giữa 2 mặt phẳng và khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.
Bài viết này chúng ta cùng ôn lại công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm, từ điểm tới đường thẳng, qua đó vận dụng giải một số bài tập minh họa để các em hiểu rõ cách vận dụng công thức tính này.
I. Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm
- Cho điểm A[xA; yA] và điểm B[xB; yB], khoảng cách giữa hai điểm này là:
II. Công thức tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng
- Cho đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 và điểm M0[x0; y0]. Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng Δ là:
> Lưu ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng Δ về dạng tổng quát.
III. Tính khoảng cách giữa 2 điểm, từ điểm tới đường thẳng qua bài tập minh họa
* Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A[1;2] và điểm B[-3;4]. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
* Lời giải:
- Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa 2 điểm A,B ta có:
* Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M[2;-1] đến đường thẳng [Δ]: 3x + 4y + 7 = 0.
* Lời giải:
- Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng [Δ] là:
* Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm A[0;1] đến đường thẳng [Δ]: 4x + 3y = 6
* Lời giải:
- Đường thẳng [Δ]: 4x + 3y = 6 ⇔ 4x + 3y - 6 = 0
- Khoảng cách từ điểm A đến [Δ] là:
* Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ điểm M[1;1] đến đường thẳng [Δ] có phương trình tham số: x = 3 + 3t và y = 2 + t.
* Lời giải:
- Ta cần đưa phương trình đường thẳng [Δ] về dạng tổng quát.
- Ta có: [Δ] đi qua điểm A[3;2] và có VTCP
⇒ Phương trình [Δ]: 1.[x - 3] - 3[y - 2] = 0 ⇔ x - 3y + 3 = 0
⇒ Khoảng cách từ điểm M[1;1] đến [Δ] là:
* Ví dụ 5: Đường tròn [C] có tâm là gốc tọa độ O[0; 0] và tiếp xúc với đường thẳng [Δ]: 4x - 3y + 25 = 0. Bán kính R của đường tròn [C] bằng:
* Lời giải:
- Do đường thẳng [Δ] tiếp xúc với đường tròn [C] nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng [Δ] chính là bán kính R của đường tròn.
* Ví dụ 6: Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng [d1]: x - 3y + 4 = 0 và
[d2]: 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:
* Lời giải:
- Trước hết ta cần tìm giao điểm của [d1] và [d2]; từ đó tính khoảng cách từ giao điểm này tới [∆].
- Giả sử giao điểm của [d1] và [d2] là A thì tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:
x - 3y + 4 = 0 và 2x + 3y - 1 = 0
Giải hệ được x = -1 và y = 1 ⇒ A[-1;1]
- Khoảng cách từ điểm A[-1;1] đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 là:
* Ví dụ 7: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[1;1]; B[0;3] và C[4;0].
a] Tính chiều dài đường cao AH [H thuộc BC].
b] Tính diện tích tam giác ABC
* Lời giải:
a] Tính chiều dài đường cao AH
- Chiều dài đường cao AH chính là khoảng cách từ A tới đường thẳng BC. Vì vậy ta cần viết phương trình dường thẳng BC từ đó tính khoảng cách từ A tới BC.
- PT đường thẳng BC: Đi qua B[0;3] và có CTCP BC[xC - xB; yC - yB] = [4;-3] nên VTPT là n[3;4].
⇒ PTĐT [BC] là: 3[x - 0] + 4[ y - 3] = 0 ⇔ 3x + 4y - 12 = 0
⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:
b] Tính diện tích tam giác ABC.
- Ta có: SΔABC = [1/2].AH.BC
- Có độ dài BC là:
- Mà AH = d[A;BC] = 1 [theo câu a]
⇒ SΔABC = [1/2].AH.BC = [1/2].1.5 = 5/2 =2,5.
Như vậy, việc tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng Δ chính là đồng nghĩa với việc tính độ dài của đoạn thẳng MH [H là hình chiếu của M lên Δ, tức MH ⊥ Δ].
Hy vọng với bài viết tính khoảng cách giữa 2 điểm và từ 1 điểm tới đường thẳng ở trên, các em đã hiểu rõ và vận dụng giải được các bài tập dạng này. Qua đó giúp các em chuẩn bị tốt kiến thức cho bài tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng hay từ 1 điểm tới mặt phẳng.