VietJack
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.
[Sở Bắc Giang 2022] Có bao nhiêu số nguyên dương \[x\] sao cho ứng với mỗi \[x\] có đúng 9 số nguyên \[y\] thỏa mãn \[\left[ {{2^{y + 1}} – {x^2}} \right]\left[ {{3^y} – x} \right] < 0\] ?
A. \[64.\]
B. \[67.\]
C. 128.
D. 53.
Lời giải:
THl: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{y + 1}} – {x^2} > 0}\\{{3^y} – x < 0}\end{array} \Leftrightarrow {{\log }_2}{x^2} – 1 < y < {{\log }_3}x} \right.\] [1].
Điều kiện cần \[{\log _2}{x^2} – 1 < {\log _3}x \Leftrightarrow 2{\log _2}x – 1 < \log \] Vì \[x \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow x = 1.\] Thử lại \[x = 1\] loại.
TH2: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{y + 1}} – {x^2} < 0}\\{{3^y} – x > 0}\end{array} \Leftrightarrow {{\log }_3}x < y < {{\log }_2}{x^2} – 1[2]} \right.\]
Để có đúng 9 số nguyên \[y\] ta phải có \[y – 1 \le {\log _3}x < y < y + 1 < \ldots < y + 8 < {\log _2}{x^2} – 1 \le y + 9\] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{y – 1}} \le x < {3^y}}\\{{2^{\frac{{y + 9}}{2}}} < x \le {2^{\frac{{y + 10}}{2}}}.}\end{array}} \right.\]
Hệ trên vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\frac{{y + 10}}{2}}} < {3^{y – 1}}}\\{{3^y} \le {2^{\frac{{y + 9}}{2}}}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y > 6,06 \ldots }\\{y \le 4,14 \ldots .}\end{array}} \right.} \right.\].
Từ đó, y nguyên ta được hệ có nghiệm khi \[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.\].
Do đó ta chỉ có hai trường hợp sau thỏa mãn bài toán
\[ + y \in \{ 5;6; \ldots ;13\} \] nghĩa là \[4 \le {\log _3}x < 5;6; \ldots ;13 < {\log _2}{x^2} – 1 \le 14\], ta được \[x \in \{ 129; \ldots 181\} \] có
53 số nguyên.
\[ + y \in \{ 6; \ldots ;14\} \] nghĩa là \[5 \le {\log _3}x < 6;7; \ldots ;14 < {\log _2}{x^2} – 1 \le 15\], ta được \[x \in \{ 243; \ldots 256\} \] có
14 số nguyên.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm hàm số mũ – lôgarit
Câu hỏi:
[Chuyên Vinh– 2022] Có bao nhiêu số nguyên \[a\] sao cho ứng với mỗi \[a\], tồn tại số thực \[b \ge a\] thỏa mãn \[{4^a} = {2^b} + b\] và đoạn \[[a;b]\] chứa không quá 5 số nguyên ?
A. 5.
B. 10.
C. 6.
D. 11.
Lời giải:
Chọn D
Do đoạn \[[a;b]\] chứa không quá 5 số nguyên nên ta có điều kiện đủ là: \[a \le b < a + 5\]. Khi đó ta có:
Phương trình ban đầu tương đương với: \[{2^b} + b – {4^a} = 0\].
Xét hàm số \[y = {f_a}[b] = {2^b} + b – {4^a}\] có \[{f_a}\prime [b] = {2^b}\ln 2 + 1 > 0,\forall b \in \mathbb{R}\] tức hàm \[{f_a}[b]\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Kết hợp điều kiện cần ban đầu ta suy ra hàm số \[{f_a}[b]\] đồng biến trên \[[a;a + 5]\].
Như vậy điều kiện tồn tại nghiệm là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f_a}[a + 5] > 0}\\{{f_a}[a] \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{a + 5}} + a + 5 > {4^a}}\\{{2^a} + a \le {4^a}}\end{array}} \right.} \right.\].
Trường hợp 1: Nếu \[a + 5 < 0 \Leftrightarrow a \le – 6\] thì \[{2^{a + 5}} + a + 5 \le 2^\circ – 1 = 0 < 4\] [loại]
Trường hợp 2: Nếu \[a + 5 \ge 0 \Leftrightarrow a \ge – 5\] thì khi đó \[{2^{a + 5}} + a + 5 > {4^a} \Leftrightarrow {4^a} < {2^{a + 6}} \Leftrightarrow {2^{2a}} < {2^{a + 6}} \Leftrightarrow a < 6\] Đối chiếu với điều kiện ta suy ra \[ – 5 \le a \le 5\].
Đến đây với mọi \[a \in [ – 5;5]\] thì bất phương trình \[{2^{a + 5}} + a + 5 > {4^a}\] luôn xảy ra vì \[{4^a} \le {2^{a + 5}} \le {2^{a + 5}} + a + 5\] [không có dấu bằng xảy ra].
Xét bất phương trình còn lại: \[{2^a} + a \le {4^a}\] ta thấy cũng luôn đúng với mọi \[a \in [ – 5;5]\]
Vậy \[a \in [ – 5;5]\] thì thỏa mãn yêu cầu đề bài tức có 11 giá trị nguyên \[a\].
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm hàm số mũ – lôgarit
21/10/2021 7,788
Chọn C
Điều kiện: x>0
Với điều kiện trên: log2x+3−1.log2x−y0log2x−y1log2x2x−1x