Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin x + căn 3 cos x = m có nghiệm

Câu 356488: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).

A. \( - 3 < m <  - 1 + \sqrt 2 \)

B. \( - 3 < m \le  - 1 + \sqrt 2 \)

C. \( - 1 < m \le  - 1 + \sqrt 2 \)

D. \( - 1 < m <  - 1 + \sqrt 2 \)

Đặt $\begin{cases}\cos\alpha = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\\\sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt3}\end{cases}\Rightarrow\alpha = \arccos\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}$

Phương trình trở thành:

$\sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = 1$

$\Leftrightarrow \sin(x - \alpha) = 1$

$\Leftrightarrow x - \alpha = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \alpha + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \arccos\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3} + k2\pi\quad (k\in\Bbb Z)$

Vậy phương trình có họ nghiệm là $x = \dfrac{\pi}{2} + \arccos\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3} + k2\pi\quad (k\in\Bbb Z)$