Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y=(4x+m)/(2x+m+3) đồng biến (0 1)

adsense

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y =  – {x^4} + 6{x^2} + mx\) có ba điểm cực trị?

A. \(17\).

 B. \(15\).

 C. \(3\).

 D. \(7\).

Lời giải:

Chọn B

Ta có: \(y’ =  – 4{x^3} + 12x + m\). Xét phương trình \(y’ = 0 \Leftrightarrow  – 4{x^3} + 12x + m = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

adsense

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = 4{x^3} – 12x\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 4{x^3} – 12x\) có \(g’\left( x \right) = 12{x^2} – 12\). Cho \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} – 12 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\)

\(m\) để hàm số \(y = – {x^4} + 6{x^2} + mx\) có ba điểm cực trị?” title=”Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = – {x^4} + 6{x^2} + mx\) có ba điểm cực trị?” />

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt khi \( – 8 < m < 8\).

Tìm hiểu dạng bài có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đơn điệu thông qua 10 ví dụ đặc trưng và cách giải chi tiết nhất. Đây là một bài toán ít gặp trong chương trình toán lớp 12, tuy nhiên bài toán thường gây nhiều bỡ ngỡ cho gặp lần đầu. Và khi đề thi chuyển dần sang trắc nghiệm, dạng toán này lại được khai thác rất nhiều. Để giải bài toán này chúng ta cũng thực hiện biện luận m theo điều kiện của bài toán, riêng đến phần kết luận thực hiện phép đếm các phần tử.

Xem thêm

• Tính đơn điệu của hàm số: Lý thuyết và dạng bài tập đặc trưng
• Hàm số đồng biến trên R và Hàm số nghịch biến trên R
• Hàm số đồng biến nghịch biến: Lý thuyết & bài toán đặc trưng
• Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đơn điệu
• Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên đoạn có độ dài
• Tìm m để hàm số ĐỒNG BIẾN trên khoảng: Lý thuyết và cách giải

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm đơn điệu trên khoảng cho trước

Mục lục

Phương pháp giải

Gặp dạng toán này chúng ta giải tương tự như các bài toán tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng. Tuy nhiên sau khi có kết quả chúng ta cần phải đếm số giá trị nguyên của m. Do đó các bước giải bài tập cần phải trình bày thật chính xác.

– Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số

– Bước 2: Xét dấu của m khi đạo hàm âm hoặc dương (nghịch biến hay đồng biến)

– Bước 3: Giải bất phương trình chứa tham số m

– Bước 4: Đếm số giá trị nguyên của tham số m

Bài tập vận dụng

Câu 1. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m2 – 1) x3 + (m – 1) x2 – x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Lời giải

Chọn C

TH1: m = 1.

Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.

TH2: m = -1.

Ta có: y = -2x2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.

TH3: m ≠ ±1.

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ. Dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.

⇔ 3(m2 – 1) x2 + 2(m – 1) x – 1 ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ

Vì m ∊ ℤ nên m = 0

Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.

Câu 2. Cho hàm số y = -x3 – mx2 + (4m + 9) x + 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

A. 5

B. 4

C. 6

D. 7

Lời giải

Chọn D

Ta có:

TXĐ: D = ℝ

y’ = -3x2 – 2mx + 4m + 9

Hàm số nghịch biến trên (-∞; +∞) khi y’ ≤ 0, ∀ x ∊ (-∞; +∞)

⇔ m ∊ [-9; -3]

Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá tr nguyên của tham số m để hàm số hàm số y = ⅓(m2 – m) x3 + 2mx2 + 3x – 2 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 0

Lời giải

Chọn A

y’ = (m2 – m) x2 + 4mx + 3

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

+) Với m = 0

Ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

+) Với m = 1

Ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

+ Với

Ta có y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ -3 ≤ m < 0

Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤  0

Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2: -1; 0}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.

Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số trên y = ⅓mx3 – 2mx2 + (3m + 5) x đồng biến trên ℝ.

A. 4

B. 2

C. 5

D. 6

Lời giải

Chọn D

Ta có y’ = mx2 – 4mx + 3m + 5

Với a = 0 ⇔ m = 0 ⇒ y’ = 5 > 0.

Vậy hàm số đồng biến trên ℝ.

Với a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {0; 1; 2; 3; 4; 5}

Câu 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = ⅓x3 + mx2 + 4x – m đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

A. [-2; 2]

B. (-∞; 2)

C. (-∞; -2]

D. [2; +∞)

Lời giải

Chọn A

Ta có: y’ = x2 + 2mx + 4

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ (-∞; +∞).

⇔ ∆ = m2 – 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.

Lê Võ Dũng

Quản trị viên website VerbaLearn.org. Với kinh nghiệm hơn 10 năm đi dạy và mong muốn tạo môi trường học tập miễn phí, tôi thành lập website này với mục đích chia sẽ kiến thức giáo dục đến học sinh các cấp tiểu học, THCS, THPT và Đại Học.