Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
Page 2
Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
Thể tích khối lăng trụ là dạng bài hình học khá khó và khiến nhiều học sinh mất điểm. Chính vì vậy để ăn trọn điểm phần hình học này các em cần nắm chắc toàn bộ công thức tính thể tích khối lăng trụ. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về thể tích khối lăng trụ giúp các em tự tin khi làm bài tập hình.
Định nghĩa hình lăng trụ là đa giác có mặt bên là hình bình hành và 2 mặt đáy song song bằng nhau.
1.1. Hình lăng trụ tam giác đều
Hình lăng trụ tam giác đều là hình trụ có mặt đáy là tam giác đều.
1.2. Hình lăng trụ tứ giác đều
Là hình trụ có mặt đáy là hình tứ giác đều.
2. Các dạng hình lăng trụ
-
Lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với phần đáy. Độ dài cạnh bên hay chính là chiều cao của hình lăng trụ. Khi đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng chính là các hình chữ nhật.
-
Lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
-
Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là chính là hình bình hành.
-
Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng với đáy là hình bình hành.
-
Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng với đáy là hình chữ nhật.
-
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông, các mặt bên là hình vuông thì được gọi là hình lập phương.
3. Công thức tính thể tích khối lăng trụ đứng
Thể tích: thể tích khối lăng trụ bằng diện tích của mặt đáy và khoảng cách giữa hai mặt đáy hoặc là chiều cao.
V = B.h
Trong đó:
- B: là diện tích đáy [đơn vị $m^{2}$]
- H: chiều cao khối lăng trụ [đơn vị m]
- V: thể tích khối lăng trụ [đơn vị $m^{3}$]
>> Xem thêm: Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều và bài tập
4. Một số bài tập tính thể tích khối lăng trụ và phương pháp giải
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết mặt phẳng [A'BC] tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
Giải:
Diện tích đáy của lăng trụ là $S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$.
Dựng $AH\perp BC$, có $BC\perp AA' \Rightarrow BC\perp [A'HA]$.
Do đó: $\widehat{[[A'BC]$;$[ABC]]} = \widehat{A'HA} = 60^{0}$.
Ta có: $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A'H= AH tan 60^{0}=\frac{3a}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}.AA'=\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{8}$.
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, đường chéo của mặt bên ABB'A' là AB' =$a\sqrt{2}$. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' đó là:
Giải:
Ta có tam giác ABB’ có BB’=$\sqrt{AB'^{2}}-AB^{2}$= a
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
V= $S_{ABC}.BB'$=$\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}.a$=$\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$.
Bài 3: [VDC] Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ xuống [ABC] là tâm O đường tròn ngoại tiếp với tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy [ABC] một góc 60 độ.
a, Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhất
b, Tính thể tích khối lăng trụ
Giải:
a, Ta có BB’C’C là hình bình hành vì là mặt bên của hình lăng trụ.
H là trung điểm BC, vì $\triangle ABC$ đều $O\in AH$.
Ta có: $BC\perp AH$ và $BC\perp A’O\Rightarrow BC\perp [AAH]’ BC\perp A’A$.
Mà AA’ song song với $BB’ \Rightarrow BC \perp BB’ \Rightarrow BB’C’C$ là hình chữ nhật.
b, $\triangle ABC$ đều $\Rightarrow AO=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
$\triangle AOA'\perp O\Rightarrow A'O=AO$ tan $60^{0}$ bằng a
V=S_{ABC}.A’O =$\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
Bài 4: [VDC] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB=$\sqrt{3}$, AD=$\sqrt{7}$. Hai mặt bên [ABB’A’]và [ADD’A’] tạo với đáy lần lượt các góc $45^{0}$, và $60^{0}$. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Giải:
Ta kẻ $A’H\perp [ABCD]$, $HM\perp AB$ và $HN\perp AD$
$\Rightarrow A’M\perp AB$ và $A’H\perp AD$
$\Rightarrow \widehat{A'MH}= 45^{0}$, $\widehat{A'NH}= 60^{0}$
Đặt A’H = x
$\Rightarrow \triangle A'HN\perp N$ nên AH= x:sin$60^{0}$=$\frac{2x}{\sqrt{3}}$
$\triangle A'HN\perp N$ nên $AH=\sqrt{AA'-A'N}=\sqrt{\frac{3-4x^{2}}{3}}$
$\triangle A'HN\perp N$ nên $HM = x.cot45^{0}=x$
$\Rightarrow$ Tứ giác AMHN là hình chữ nhật $AN=MH\Rightarrow \frac{\sqrt{3-4x^{2}}}{3}=x\Leftrightarrow \sqrt{\frac{3}{7}}$
Vậy $V_{ABCD.A'B'C'D'}$ = AB.AD.A’H= 3
Đặc biệt, thầy Phạm Anh Tài đã có bài giảng cực hay về khối lăng trụ như các công thức tính thể tích khối lăng trụ, phương pháp giải bài tập khối lăng trụ nhanh. Cùng VUIHOC tham gia bài giảng của thầy trong video dưới đây nhé!
Ngoài ra các em có thể xem thêm bài giảng về thể tích khối lăng trụ: TẠI ĐÂY
Bài viết trên đây đã cung cấp đầy đủ toàn bộ công thức tính thể tích khối lăng trụ. Để tham khảo thêm các công thức toán hình 12 và nhiều bài tập về hình học không gian, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản tại đây nhé!
>> Xem thêm:
Thể tích khối lăng trụ tam giác đều là dạng bài xuất hiện khá nhiều trong đề thi đại học các năm. Vì vậy bài viết dưới đây sẽ cung cấp đầy đủ công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều cũng như bài tập để các em có thể tham khảo.
Lăng trụ tam giác đều chính là hình lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau.
2. Tính chất hình lăng trụ tam giác đều
Một số tính chất của hình lăng trụ tam giác đều như sau:
-
Hình lăng trụ tam giác đều có 2 đáy là hai tam giác đều bằng nhau
-
Các cạnh đáy bằng nhau
-
Các mặt bên của hình lăng trụ tam giác đều là các hình chữ nhật bằng nhau
-
Các mặt bên và hai đáy luôn vuông góc với nhau
3. Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều bằng diện tích của hình lăng trụ nhân với chiều cao hoặc bằng căn bậc hai của ba nhân với hình lập phương của tất cả các cạnh bên v, sau đó chia tất cả cho 4.
Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều như sau:
V = S.h = $[\sqrt{3}]/4a^{3}h$
Trong đó:
-
V: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều [đơn vị $m^{3}$].
-
S: Diện tích khối lăng trụ tam giác đều [đơn vị $m^{2}$].
-
H: Chiều cao khối lăng trụ tam giác đều [đơn vị m].
4. Công thức tính diện tích khối lăng trụ tam giác đều
4.1. Tính diện tích xung quanh
Diện tích xung quanh lăng trụ tam giác đều sẽ bằng tổng diện tích các mặt bên hoặc bằng với chu vi của đáy nhân với chiều cao.
$S_{xq}=P.h$
Trong đó:
-
P: chu vi đáy
-
H: chiều cao
4.2. Tính diện tích toàn phần
Diện tích toàn phần của khối lăng trụ tam giác đều chính bằng bằng tổng diện tích các mặt bên và diện tích của hai đáy.
V= s.h= $\frac{\sqrt{3}}{4a^{3}}$.h
Trong đó:
-
A: chiều dài cạnh đáy
-
H: chiều cao
5. Một số bài tập tính thể tích lăng trụ tam giác đều [có lời giải chi tiết]
Câu 1: Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 8cm và mặt phẳng A’B’C’ tạo với đáy ABC một góc bằng $60^{0}$.
Giải:
Gọi I là trung điểm của BC ta có:
$AI\perp BC$ [theo tính chất đường trung tuyến của tam giác đều]
$A'I\perp BC$ [vì A’BC là tam giác cân]
$\widehat{A'BC,ABC}=60^{0}$
=> AA= AI.tan$60^{0}$=$[\frac{8\sqrt{3}}{2}].\sqrt{3}$= 12 cm
Ta có: S[ABC]= $[\frac{8\sqrt{3}}{4}]=2\sqrt{3}$
Thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ là:
V= AA’.S[ABC]=$12.2\sqrt{3}=24\sqrt{3} [cm^{3}]$ [$cm^{3}$]
Câu 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác đều với cạnh a bằng 2 cm và chiều cao h bằng 3cm. Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’?
Giải:
Vì đáy của lăng trụ là tam giác đều cạnh a
V=$S_{ABC}.h=\sqrt{3}.3=3\sqrt{3}[cm^{3}]$
Câu 3: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng a?
Giải:
Vì đây là hình lăng trụ đứng nên đường cao sẽ bằng a
Đáy là tam giác đều nên:
$S_{ABC}=\frac{2a^{2}\sqrt{3}}{4}=a^{2}\sqrt{3}$
=> V= $S_{ABC}.a=a^{2}\sqrt{3}.a=a^{3}\sqrt{3}$
Câu 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Tính thể tích khối lăng trụ này khi:
a] AB = 2 cm; AA’ = 6 cm
b] AB = 6 cm; BB’ = 8 cm
Giải:
a] Theo đề bài ta có:
a= AB= 2cm
h= AA’= 6cm
Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ tam giác đều:
V= $h.a^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=6.2^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$
b] Theo đề bài ta có:
a= AB= 6cm
h= BB’= 8cm
Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ tam giác đều:
V=$h.a^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=8.6^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=72.\sqrt{3}[cm^{2}]$
Câu 5: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
Giải:
Khối lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng có cạnh bên bằng a.
Đáy là tam giác đều cạnh a.
=> V= $a.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Đặc biệt, thầy Tài đã có bài giảng về thể tích khối lăng trụ cực hay dành cho các bạn học sinh VUIHOC. Trong bài giảng, thầy Tài có chia sẻ rất nhiều cách giải bài đặc biệt, nhanh và thú vị, vì vậy các em đừng bỏ qua nhé!
Trên đây là tổng hợp công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều cũng như các dạng bài tập thường gặp trong chương trình Toán 12. Nếu các em muốn đạt kết quả tốt nhất thì hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để tham khảo các công thức toán hình 12 và luyện đề mỗi ngày! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.
>> Xem Thêm: