Cho hình hộp chữ nhật abcd a b c d khoảng cách bd và a c

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,AD = AA' = 2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $DC'$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[AB = a,AD = AA' = 2a\]. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[DC'\] bằng

A. \[\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\]

B. \[\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

C. \[\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]

D. \[\dfrac{{3a}}{2}.\]

Câu hỏi:

Chohình hộp chữ nhật \[ABCD. A’B’C’D’\]. Biết khoảng cách giữa\[AB\]và \[B’C\] bằng \[\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\], khoảng cách giữa\[BC\]và\[AB’\]bằng\[\frac{{16{a^3}\sqrt 3 }}{3}\], khoảng cách giữa\[AC\]và\[BD’\]bằng\[\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]. Gọi\[16{a^3}\]là trung điểm\[B’C\]. Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng\[\left[ {BMD} \right]\]và\[\left[ {B’AD} \right]\].

A. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

B. \[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

C. \[\frac{{\sqrt 5 }}{5}\].

D. \[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].

GY:

Cách 1

+] Chọn hệ trục tọa độ\[Oxyz\]như hình vẽ với:\[B\left[ {0;0;0} \right]\],\[{B^\prime }\left[ {0;0;2} \right]\],\[C\left[ {1;0;0} \right]\],\[A\left[ {0;1;0} \right]\],\[D\left[ {1;1;0} \right]\],\[M\]là trung điểm\[{B^\prime }C\], suy ra\[M\left[ {\frac{1}{2};0;1} \right]\].

+] Ta có\[\overline {{B^\prime }A}= \left[ {0;1; – 2} \right]\],\[\overline {{B^\prime }D}= \left[ {1;1; – 2} \right]\],\[\left[ {\overrightarrow {B’A},\overrightarrow {B’D} } \right] = \left[ {0\,;\, – 2\,;\, – 1} \right]\].

Suy ra mặt phẳngcó một véctơ pháp tuyến là \[\vec n = \left[ {0\,;\,2\,;\,1} \right]\].

+] Ta có \[\overrightarrow {BM}= \left[ {\frac{1}{2};0;1} \right]\],\[\overrightarrow {BD}= \left[ {1;1;0} \right]\],\[\left[ {\overrightarrow {BM},\overrightarrow {BD} } \right] = \left[ { – 1;1;\frac{1}{2}} \right]\].

Suy ra mặt phẳng \[\left[ {BMD} \right]\] có một véctơ pháp tuyến là \[\vec n’ = \left[ { – 2\,;\,2\,;\,1} \right]\].

Gọi\[\alpha \]là góc tạo bởi hai mặt phẳng \[\left[ {BMD} \right]\]và\[\left[ {{B^\prime }AD} \right]\], ta có:

\[\cos \alpha= \frac{{|\vec n \cdot \vec n|}}{{|\vec n| \cdot \left| {{{\vec n}^\prime }} \right|}} = \frac{5}{{\sqrt {5.} 3}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\]\[ \Rightarrow \sin \alpha= \frac{2}{3} \Rightarrow \tan \alpha= \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

Cách 2

Gọi\[L,E\]lần lượt là trung điểm\[B{B^\prime },BA\]. Dễ thấy\[MLEO\]là hình chữ nhật và\[[MLEO]//\left[ {{B^\prime }AD} \right]\], suy ra\[\left[ {\widehat {\left[ {BMD} \right],\left[ {{B^\prime }AD} \right]}} \right] = \widehat {\left[ {\left[ {BMD} \right],\left[ {MLEO} \right]} \right]}\].

Gọi\[BH \cap EL = N\], kẻ\[NF//OE\]. Vì\[EL//A{B^\prime } \Rightarrow BN \bot EL\], mà\[NF \bot EL\], suy ra\[EL \bot \left[ {BNF} \right]\].Từ đó ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{[BMD] \cap [MLEO] = MO}\\{NF \bot MO}\\{BF \bot MO}\end{array}} \right.\]\[ \Rightarrow \widehat {\left[ {\left[ {BMD} \right],\left[ {MLEO} \right]} \right]} = \widehat {BFN}\].

Xét\[\Delta BLE\]vuông tại\[B\]ta có\[\frac{1}{{B{N^2}}} = \frac{1}{{B{L^2}}} + \frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow BN = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\].

Xét\[\Delta BFN\]vuông tại\[N\]ta có\[\tan \widehat {BFN} = \frac{{BN}}{{FN}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}:\frac{a}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

Vậy tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng\[\left[ {BMD} \right]\]và\[\left[ {{B^\prime }AD} \right]\]bằng\[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, CC’ = c. a] Tính khoảng cách từ điểm A tới mp[A’BD]. b] Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D.

c] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.. Bài 12 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao – I. Bài tập tự luận

Bài 12.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, CC’ = c.

a] Tính khoảng cách từ điểm A tới mp[A’BD].

b] Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D.

c] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

 

a] Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.Ta có: \[A’\left[ {0;0;c} \right],\,\,B\left[ {a;0;0} \right],\,\,D\left[ {0;b;0} \right].\]Phương trình mặt phẳng [A’BD] là: \[{x \over a} + {y \over b} + {z \over c} – 1 = 0.\]

Khoảng cách từ A[0; 0; 0] tới mp[A’BD] là:

\[d = {{\left| { – 1} \right|} \over {\sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} }} = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.\]

Quảng cáo

b] Ta có \[C’\left[ {a;b;c} \right].\]

\[\eqalign{ & \overrightarrow {A’C’} = \left[ {a,b,0} \right],\overrightarrow {C’D} = \left[ { – a;0; – c} \right] \cr

& \left[ {\overrightarrow {A’C’} ,\overrightarrow {C’D} } \right] = \left[ { – bc,ac,ab} \right]. \cr} \]

Khoảng cách từ \[A’\left[ {0,0,c} \right]\] tới đường thẳng C’D là:

\[{h_1} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {A’C’} ,\overrightarrow {C’D} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {C’D} } \right|}} = {{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} } \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\]

c]  Ta có \[\overrightarrow {BC’}  = \left[ {0,b,c} \right],\overrightarrow {CD’}  = \left[ { – a,0,c} \right],\overrightarrow {BC}  = \left[ {0,b,0} \right],\] khoảng cách giữa BC’ và CD’ là:

\[{h_2} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {BC’} ,\overrightarrow {CD’} } \right].\overrightarrow {BC} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {BC’} ,\overrightarrow {CD’} } \right]} \right|}} = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.\]

Đáp án D

Phương pháp:

- Xác định các đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng AB và B 'C, BC và AB '.

- Dựa vào giải thiết khoảng cách nhận xét tính chất của hai đáy ABCD và A 'B 'C 'D '.

- Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của AC và BD '.

- Tính độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật và suy ra thể tích

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên B 'C và B 'A

Dễ thấy AB⊥[BCC'B'] nên AB⊥BE 

Lại có BE⊥B'C nên dAB,B'C=BE=2a55 

Tương tự có dBC,AB'=BF=2a55 

Xét các tam giác vuông BCB’ và BAB’ có: 1BE2=1BF2 

 ⇔BC=BA hay ABCD là hình vuông

Suy ra BD⊥AC. Lại có AC⊥DD' nên AC⊥[BDD'] 

Gọi M=AC∩BD,O là tâm hình hộp và H  là hình chiếu của M  lên BD '

Khi đó AC⊥MH và MH⊥BD' nên dAC,BD'=MH=a33 

Đặt BA=BC=x, BB'=y ta có:

Tam giác BB 'C vuông nên

 

Tam giác BMO vuông nên

 

Mà MB=12BD=x22,MO=12DD'=y2

nên

 

Từ [1] và [2] ta có:

 

Vậy thể tích khối hộp

V=BA.BC.BB'=a.a.2a=2a3

Chọn đáp án D.