Cho hình chóp sabc có đáy ABC là tam giác đều cạnh a khoảng cách từ A đến SBC

Đáp án:

1] $d[A;[SBC]] = \dfrac{a\sqrt6}{9}$

2] $V_{M.NPQ} = \dfrac{1}{27}V$

3] $V_{ABC.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt3}{8} \, [đvtt]$

Giải thích các bước giải:

1] Ta có:

$V_{S.ABC} = V_{A.SBC} = \dfrac{1}{3}S_{SBC}.d[A;[SBC]]$

$\Rightarrow d[A;[SBC]] = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{SBC}} = \dfrac{3.\dfrac{a^3\sqrt2}{36}}{\dfrac{a^2\sqrt3}{4}} = \dfrac{a\sqrt6}{9}$

2] Gọi $E, F, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC, BC$

Ta được: $\dfrac{DN}{DF} = \dfrac{DP}{DE} = \dfrac{DQ}{DK} = \dfrac{2}{3}$ [tính chất của trọng tâm]

$\Rightarrow \dfrac{V_{D.PNQ}}{V_{D.EFK}} = \left[\dfrac{2}{3}\right]^3 = \dfrac{8}{27}$

Ta lại có:

$\dfrac{V_{D.PNQ}}{V_{M.NPQ}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}S_{PNQ}.d[D;[PNQ]]}{\dfrac{1}{3}S_{PNQ}.d[M;[PNQ]]} = \dfrac{d[D;[PNQ]]}{d[M;[PNQ]]} = 2$

$\Rightarrow V_{M.NPQ} = \dfrac{4}{27}V_{D.EFK}$

Mặt khác:

$S_{EFK} = S_{ABC} S_{AEF} S_{BEK} S_{CFK} = \dfrac{1}{4}S_{ABC}$

$\Rightarrow \dfrac{V_{D.EFK}}{V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{4}$

hay $V_{D.EFK} = \dfrac{1}{4}V$

Do đó $V_{M.NPQ} = \dfrac{4}{27}.\dfrac{1}{4}.V = \dfrac{1}{27}V$

3] Gọi $G$ là trọng tâm của $ΔABC$

$\Rightarrow AG\perp [ABC] \, [gt]$

Ta có: $ΔABC$ đều, $G$ là trọng tâm

$\Rightarrow GA = GB$

$\Rightarrow AA = AB$

$\Rightarrow ΔAAB$ cân tại $A$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow AM\perp AB$

Mặt khác: $ΔABC$ đều, $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow CM\perp AB$

$\Rightarrow GM = \dfrac{1}{3}CM = \dfrac{1}{3}.AB\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{6}$

Ta được:

$\begin{cases}[ABC]\cap[ABBA] = AB\\AM\subset [ABBA]\\ AM\perp AB\\CM \subset [ABC] \\ CM \perp AB\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{[[ABBA];[ABC]]} = \widehat{AMC} = 60^o$

$\Rightarrow AG = GM.\tan60^o = \dfrac{a\sqrt3}{6}.\sqrt3 = \dfrac{a}{2}$

Do đó:

$V_{ABC.ABC} = S_{ABC}.AG = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{8} \, [đvtt]$