Cho hai số thực dương x y thỏa x + 2y 3 tìm giá trị lớn nhất của P xy

Câu hỏi:
Cho hai số thực dương \[x,y\] thay đổi và thỏa mãn hệ thức

\[4 + \ln \frac{{2x + 2y + 1}}{{5xy}} = 20xy – \left[ {8x + 8y} \right]\].

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = xy + 9\] bằng

A. \[m = 11.\] 

B. \[m = 10.\] 

C. \[m = 12 \cdot \] 

D. \[m = \frac{{19}}{2} \cdot \]

GY::

Ta có

\[4 + \ln \frac{{2x + 2y + 1}}{{5xy}} = 20xy – 8x – 8y\,\,\, \Leftrightarrow \ln \left[ {2x + 2y + 1} \right] – \ln \left[ {5xy} \right]\, = 4\left[ {5xy} \right] – 4\left[ {2x + 2y + 1} \right]\]\[ \Leftrightarrow \ln \left[ {2x + 2y + 1} \right] + 4\left[ {2x + 2y + 1} \right] = \ln \left[ {5xy} \right]\, + 4\left[ {5xy} \right]\,\,\,\,\left[ 1 \right].\]

Xét hàm số \[f\left[ t \right] = 4t + \ln t\] với \[t > 0\].

Vì \[f’\left[ t \right] = 4 + \frac{1}{t} > 0,\,\,\forall t > 0\] nên \[f[t]\] là hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ {0;\,\, + \infty } \right].\]

Như vậy \[\left[ 1 \right]\,\,\, \Leftrightarrow \,\,f\left[ {2x + 2y + 1} \right] = f\left[ {5xy} \right]\,\, \Leftrightarrow 2x + 2y + 1 = 5xy\,\,[2].\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \[2x + 2y + 1 \ge 4\sqrt {xy}+ 1\,[3].\,\,\,\,\]

Từvàsuy ra \[5xy \ge 4\sqrt {xy}+ 1\,\, \Leftrightarrow 5{\sqrt {xy} ^2} – 4\sqrt {xy}- 1 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\sqrt {xy}- 1} \right]\left[ {5\sqrt {xy}+ 1} \right] \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {xy}\ge 1\,\,\,\left[ {{\rm{do}}\,\,x > 0,y > 0} \right].\]

Dẫn tới \[P = xy + 9 \ge 10.\] Dấu “=” xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\x = y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1.\]

Vậy \[\min P = 10\] đạt được khi \[x = y = 1.\]

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit

Giải chi tiết:

ĐK: \[\left\{ \matrix{  {{1 - xy} \over {x + 2y}} > 0 \hfill \cr   x + 2y \ne 0 \hfill \cr   x,y > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow 1 - xy > 0 \Rightarrow xy < 1 \Rightarrow x < {1 \over y}\]

\[\eqalign{  & {\log _3}{{1 - xy} \over {x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {1 - xy} \right] - {\log _3}\left[ {x + 2y} \right] = 3xy + x + 2y - 4  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {1 - xy} \right] - 3xy + 4 = {\log _3}\left[ {x + 2y} \right] + x + 2y  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_3}\left[ {1 - xy} \right] + 1} \right] + \left[ {3 - 3xy} \right] = {\log _3}\left[ {x + 2y} \right] + x + 2y  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {3 - 3xy} \right] + \left[ {3 - 3xy} \right] = {\log _3}\left[ {x + 2y} \right] + x + 2y\,\,\left[ * \right] \cr} \].

Xét hàm số đặc trưng \[f\left[ t \right] = {\log _3}t + t\,\,\left[ {t > 0} \right] \Rightarrow f'\left[ t \right] = {1 \over {t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \] hàm số y = f[t] luôn đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\].

Mà từ [*] ta có: \[f\left[ {3 - 3xy} \right] = f\left[ {x + 2y} \right],\] do đó \[3 - 3xy = x + 2y \Leftrightarrow x\left[ {1 + 3y} \right] = 3 - 2y \Leftrightarrow x = {{3 - 2y} \over {1 + 3y}}\] [vì y > 0].

Ta có: \[x < {1 \over y} \Rightarrow {{3 - 2y} \over {1 + 3y}} < {1 \over y} \Rightarrow {{3y - 2{y^2} - 1 - 3y} \over {\left[ {1 + 3y} \right]y}} < 0 \Leftrightarrow  - 2{y^2} - 1 < 0\] [luôn đúng].

Khi đó \[P = x + y = {{3 - 2y} \over {1 + 3y}} + y = {{3 - 2y + y + 3{y^2}} \over {1 + 3y}} = {{3{y^2} - y + 3} \over {1 + 3y}} = f\left[ y \right]\].

Ta có: \[f'\left[ y \right] = {{\left[ {6y - 1} \right]\left[ {1 + 3y} \right] - 3\left[ {3{y^2} - y + 3} \right]} \over {{{\left[ {1 + 3y} \right]}^2}}} = {{9{y^2} + 6y - 10} \over {{{\left[ {1 + 3y} \right]}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {y_1} = {{ - 1 + \sqrt {11} } \over 3} \hfill \cr   {y_2} = {{ - 1 - \sqrt {11} } \over 3} \hfill \cr}  \right.\]

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN tại \[y = {y_1}\], khi đó \[{P_{\min }} = f\left[ {{y_1}} \right] = {{2\sqrt {11}  - 3} \over 3}.\]

Chọn D.

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì

Suy luận nào sau đây đúng?

Cho \[a,\,\,b,\,\,c\] dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho \[a > b > 0.\] Mệnh đề nào dưới đây sai?

Hàm số \[y = {a^x}\left[ {0 < a \ne 1} \right]\]  đồng biến khi nào?

Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào?

Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào?

Tập xác định của hàm số \[y = {2^x}\] là:

Hàm số \[y = {2^{\ln x + {x^2}}}\] có đạo hàm là

Cho hàm số \[y = {3^x} + \ln 3\]. Chọn mệnh đề đúng:

Tính đạo hàm của hàm số \[y = {6^x}\].

Cho hàm số \[y = {e^{2x}} - x\]. Chọn khẳng định đúng.

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn x + y + 2xy = \[\dfrac{15}{2}\]. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y

Các câu hỏi tương tự

cho x,y là 2 số thực thỏa mãn x+2y=1 tìm giá trị nhỏ nhất của P=xy

Mã câu hỏi: 219452

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

CÂU HỎI KHÁC

Cho hai số dương x; y thỏa mãn: x + 2y = 3. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

. Tính M + m.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:

Theo đề:

ÞA= A’= A’=0Û Bảng biến thiên: Theo bảng biến thiên, ta được: maxA = , min A = .

Đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

• Ngoài việc cung cấp gỗ quý, rừng còn có tác dụng gì cho môi trường sống của con người.

• Đối với chất thải công nghiệp và sinh hoạt, Luật bảo vệ môi trường quy định:

• Bảo vệ thiên nhiên hoang dã cần ngăn chặn những hành động nào dưới đây.

• Giữ gìn thiên nhiên hoang dã là:

• Tài nguyên nào sau đây thuộc tài nguyên tái sinh:

• Muốn thực hiện quan hệ hợp tác giữa các quốc gia trong các lĩnh vực cần có:

• Bảo vệ chủ quyền, thống nhất toàn vẹn lãnh thổ là nội dung cơ bản của pháp luật về:

• Bảo vệ tổ quốc là nghĩa vụ thiêng liêng và cao quý của ai sau đây?

• Ngăn chặn và bài trừ các tệ nạn xã hội được pháp luật quy định trong luật nào dưới đây:

• Đâu không phải là nội dung của pháp luật về phát triển bền vững của xã hội?