Cách xác định hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng

Trong bài này, HocThatGioi sẽ hướng dẫn các bạn chi tiết cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm, đường thẳng lên mặt phẳng. Gồm có 3 dạng sau: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng, hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng và hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng. Cùng theo dõi ngay nhé!

Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm M[x_M,y_M,z_M] lên đường thẳng d: \left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{matrix}\right. trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi điểm M' là hình chiếu của M lên d

\Rightarrow M' \in d \Rightarrow M'[x_0+at, y_0+bt, z_0+ct]

Bước 2: Vì M' là hình chiếu vuông góc của M lên d

\Rightarrow MM' \perp d \Rightarrow \vec {MM'} .\vec u_d=0.

Bước 3: Từ dữ kiện \vec {MM'} .\vec u_d=0 , ta sẽ giải và tìm được t, từ t ta có thể dễ dàng suy ra điểm M' rồi. [Xem hình vẽ bên dưới để dễ hình dung hơn]

Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn nhé!

Tìm hình chiếu của điểm M[1,1,3] lên đường thẳng d: \left\{\begin{matrix} x=1-t\\ y=2+2t\\ z=-1-t \end{matrix}\right.

Gọi điểm M’ là hình chiếu của M lên d \Rightarrow M'[1-t,,2+2t,-1-t.
Ta có MM’ \perp d \Rightarrow \vec {MM’} . \vec u_d =0 [1]
Mà \vec {MM’}=[-t,1+2t,-4-t] và \vec u_d=[-1,2,-1]
[1] \Leftrightarrow [-t].[-1]+[1+2t].2 +[-4-t].[-1]=0 \Leftrightarrow t=-1
Thay t=-1 \Rightarrow M'[2,0,0] là hình chiếu của M lên d

Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trong không gian Oxyz, ta có thể giải theo kiểu tự luận tức là trình bày chi tiết các bước thực hiện hoặc giải bằng công thức nhanh [phù hợp với trắc nghiệm]. HocThatGioi nghĩ rằng bạn nên hiểu cả 2 cách này để vừa có thể áp dụng công thức tính nhanh, vừa có thể hiểu bản chất để lỡ có quên công thức thì còn có cái mà dùng.

Giả sử cần tìm hình chiếu vuông góc của điểm M[x_M,y_M,z_M] lên mặt phẳng [P]: Ax+By+Cz+d=0

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với [P]. Vì d vuông góc với [P] nên VTPT của [P] chính là VTCP của d. Khi đó, phương trình của d:\left\{\begin{matrix} x=x_M+At\\ y=y_M+Bt\\ z=z+M=Ct \end{matrix}\right.

Bước 2: Tìm giao điểm M' của đường thẳng d và [P]. Đây cũng chính là hình chiếu của M lên [P] và tọa độ của nó sẽ là nghiệm của hệ phương trình sau: \left\{\begin{matrix} x_{M'}=x_M+At\\ y_{M'}=y_M+Bt\\ z_{M'}=z_M+Ct\\ Ax+By+Cz+D=0 \end{matrix}\right..

Bước 3: Giải hệ phương trình trên là có thể tìm được điểm M' là hình chiếu của M lên [P] rồi. [Xem hình ảnh bên dưới].

Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

Công thức tính nhanh hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng đơn giản chỉ là rút ra từ cách giải theo bản chất ở trên. Công thức cụ thể như sau:

Công thức tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

\left\{\begin{matrix} x_{M’}=x_M+Ak\\ y_{M’}=y_M+Bk\\ z_{M’}=z_M+Ck \end{matrix}\right.

Trong đó::
k=-\frac{Ax_M+By_M+Cz_M+D}{A^2+B^2+C^2}
Mặt phẳng [P]: Ax+By+Cz+D=0.
Điểm M[x_M,y_M,z_M]

Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn về 2 phương pháp mà HocThatGioi vừa giới thiệu ở trên nhé!

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M[1,2,3] lên mặt phẳng [P]: 2x+3y-z+9=0

*Cách tự luận
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với [P]
\Rightarrow d có VTCP chính là VTPT của [P] \Rightarrow \vec u_d=\vec n_P =[2,3,-1]
\Rightarrow d: \left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3-t \end{matrix}\right. .
Giao điểm M’ của d và [P] có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3-t\\ 2x+3y-z+9=0 \end{matrix}\right.
\Rightarrow M'[-1.-1.4] là tọa độ hình chiếu của M lên [P] *Cách trắc nghiệm

Đầu tiên ta tìm k=-\frac{Ax_M+By_M+Cz_M+D}{A^2+B^2+C^2}=-\frac{2.1+3.2-1.3+9}{2^2+3^2+[-1]^2}=-1

\Rightarrow tọa độ của M’ : \left\{\begin{matrix} x=1+2[-1]\\ y=2+3[-1]\\ z=3-1.[-1] \end{matrix}\right.
Vậy M[-1,-1,4] là hình chiếu của M lên [P]

Nếu bạn đã hiểu rõ phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng mà HocThatGioi vừa giới thiệu ở trên thì việc tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng sẽ không có gì khó nữa.

Đối với đường thẳng song song với mặt phẳng: Ta sẽ tìm một điểm bất kì thuộc đường thẳng đó, lấy hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng. Khi đó ta sẽ viết được phương trình đường thẳng hình chiếu với điểm hình chiếu vừa tìm và VTCP cũng chính là VTCP của đường thẳng ban đầu

Đối với đường thẳng cắt mặt phẳng: Ta sẽ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đó, sau đó lấy một điểm bất kì trên đường thẳng đó, lấy hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng. Khi đó, ta sẽ viết được phương trình đường thẳng hình chiếu với 2 điểm vừa tìm được, chính là giao điểm và điểm hình chiếu.

Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn nhé!

Tìm hình chiếu của đường thẳng d: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{1} lên mặt phẳng [P]:x+y-3z-3=0

Gọi M là giao điểm của d và [P] \Rightarrow M[1+2t,-3t,-2+t]
Mà M \in [P] \Rightarrow 1.[1+2t]+1.[-3t]-3[-2+t]-3=0 \Rightarrow t=1
\Rightarrow M[3,-3,1]
Gọi 1 điểm H bất kì thuộc d, sau đó tìm H’ là hình chiếu của H lên [P] như HocThatGioi vừa hướng dẫn ở trên. Cuối cùng viết phương trình d’ là hình chiếu của d lên [P] từ 2 điểm M và H‘ vừa tìm được là xong.

Hi vọng sau bài viết này của HocThatGioi sẽ giúp các bạn hiểu và vận dụng thành thạo cách tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng lên măt phẳng. Nếu thấy bài viết này của HocThatGioi hay và bổ ích thì hãy chia sẻ nó đến bạn bè của mình nhé! Chúc các bạn học tốt

Bài viết khác liên quan đến phương pháp toạ độ trong không gian

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng – điểm đối xứng qua mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng – điểm đối xứng qua mặt phẳng: Phương pháp giải. Để tìm hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng [P]. Gọi H [T; 2; 3]. Tính véctơ AH. Sử dụng điều kiện AH = [P]. Để tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua [P]: Sử dụng điều kiện H là trung điểm AB. Ví dụ 60. Cho A[1; -1; 1] và mặt phẳng [P]: 20 – 24 + 2 + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng [P]. [2] Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng [P]. Mặt phẳng [P] có vtpt m = [2; -2; 1]. Gọi H [0; 2; 3], vì H là hình chiếu vuông góc của A trên [P]. Có H là trung điểm của AA’. Vậy A[-3; 3; -1].

Ví dụ 61. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A[1; -1; 1], B[0; 1; -2]. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng [Ocg] sao cho MA – MB đạt giá trị lớn nhất. Phương trình mặt phẳng [Org] là z = 0. Do ZA > 0, B < 0 = A, B nằm về hai phía mặt phẳng [Ocg]. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên [Ocg]. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua [Org], ta có H[1; -1; 0], A[1; -1; -1], AB =[-1; -2, -1]. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 67. Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M[2; -3; 5] trên mặt phẳng [P]: 2x – y + 2z – 26 = 0. Mặt phẳng [P] có vtpt là n = [2; -1; 2]. Gọi H [0; 2; 3] + M = [x – 2; 3 + 3; z – 5]. Có MH + MH = t: m = H[2 + 2t; -3 – t; 5 + 2t]. H € [P]. Bài 68. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M[1; -2; 1] và mặt phẳng [P]: 32 + 4 + 2x + 11 = 0. Tìm tọa độ điểm M là điểm đối xứng với điểm M qua mặt phẳng [P]. Mặt phẳng [P] có vtpt là n = [3; 1; 2]. Gọi H [0; 2; 3] là hình chiếu vuông góc của M trên [P] » MH = [x – 1; g + 2; – 1]. Có MH và m cùng phương M'[-5; -4; -3]. Bài 69. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[4; 1; -2]. Tìm tọa độ điểm A' là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng [Ocz]. Phương trình mặt phẳng [O2] là g = 0. Mặt phẳng [Occ] có vtpt là 3 = [0; 1; 0]. Gọi H [0; 2; 3] là hình chiếu vuông góc của A trên [O2] = AH = [x – 4; 3 – 1; 2 + 2]. Có AH và B cùng phương Ať = t.1 + H[4; 1+t; -2]. A'[4; -1; –2]. Bài 70. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A[2; 0; -1], B[1; -2; 3], C[0; 1; 2]. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng [ABC]. Phương trình mặt phẳng [ABC] : 2x + y + z – 3 = 0. Gọi H[; g; 3] là hình chiếu vuông góc của 0 trên [ABC] = OH = [0; 2; 3]. Có OH và n cùng phương H[24; 1; t]. Bài 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M[1; -2; -2] và mặt phẳng [P]: x + y – z – 4 = 0. Tìm tọa độ điểm N là điểm đối xứng với điểm M qua mặt phẳng [P]. Mặt phẳng [P] có vtpt là N = [1; 1; -1]. Gọi H [T; 2; 3] là hình chiếu vuông góc của M trên [P]. Có MH và N cùng phương vậy N[3; 0; -4]. Bài 72. Cho điểm A[3; 1; 0] và mặt phẳng [P] : 2x + 2y – 1 = 0. Tính khoảng cách từ A đến [P]. Viết phương trình mặt phẳng [Q] qua A và song song với [P]. Xác định tọa độ hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng [P]. Đáp số: d[A, [P]] = 3; [Q] : 2 + 2y – z – 8 = 0; H[1; -1; 1]. Mặt phẳng [P] có vtpt là I = [2; 2; -1]. Gọi H[0; 2; 3] là hình chiếu vuông góc của A trên [P] = AH = [x – 3; 4 – 1; 2]. Có AH và nó cùng phương » MH = t: m = H[3 + 2t; 1 + 2; –t]. H[1; -1; 1]. Bài 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A[2; 1 – 1], B[1; 2; 3] và mặt phẳng [P]: 2x – 2x + 3 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng [P]. Viết phương trình mặt phẳng [Q] chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng [P]. Đáp số. H[1; -1; 1], [Q] : 100 – 29 + 3z – 15 = 0. Bài 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A[-1; -1; -2], B[0; 1; 1] và mặt phẳng [P]: x + y + z – 1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng [P]. Viết phương trình mặt phẳng [Q] chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng [P]. Đáp số. H[1; 3; 4], [Q] :3 – 2y + 3 + 1 = 0.