Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hay, nhanh nhất - Toán lớp 12
Với loạt bài Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
Bài viết Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập vận dụng áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 12.
1. Lý thuyết
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f[x] xác định trên K ta có:
+ Hàm số y = f[x] được gọi là đồng biến[tăng] trên K nếu: x1,x2 K, x1< x2 => f[x1] < f[x2] .
+ Hàm số y = f[x] được gọi là nghịch biến[giảm] trên K nếu: x1,x2 K, x1< x2 => f[x1] > f[x2] .
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trênK được gọi chung là đơn điệu trênK.
Nhận xét:
+ Hàm số f[x] đồng biến trên K
Khi đó đồ thị của hàm số đi lêntừ trái sang phải.
+ Hàm số f[x] nghịch biến trên K
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuốngtừ trái sang phải.
Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số:
Nếu f'[x] > 0, x [a,b] hàm số f[x] đồng biếntrên khoảng [a; b]
Nếu f'[x] < 0, x [a,b] hàm số f[x] nghịch biếntrên khoảng [a; b]
Nếu f'[x] = 0, x [a,b] hàm số f[x] không đổitrên khoảng [a; b]
Nếu f[x] đồng biếntrên khoảng [a,b] => f'[x] 0, x [a,b]
Nếu f[x] nghịch biếntrên khoảng [a,b] => f'[x] 0, x [a,b]
Nếu thay đổi khoảng [a; b] bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết hàm sốf[x] liên tụctrên đoạn hoặc nửa khoảng đó.
2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
Nếu f'[x] 0 với mọi x K và f'[x] = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f đồng biến trên K.
Nếuf'[x] 0 với mọi x K và f'[x] = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f đồng biến trên K.
Phương pháp giải chung
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y' = f'[x].
Bước 2. Tìm các điểm tại đó f'[x] = 0 hoặc f'[x] không xác định.
Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu củay'.
Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu choy'.
Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu củay'.
Chú ý:
Đối với hàm phân thức hữu tỉ
Giả sử y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d => f'[x] = 3ax2 + 2bx + c
+ Hàm số đồng biến trên R
+ Hàm số nghịch biến trên
Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f[x] = d
[Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu]
Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng 1 ta giải như sau:
Bước 1: Tính y' = f'[x,m] =ax2 + bx + c
Bước 2:Hàm số đơn điệu trên [x1,x2] y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Bước 3:Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng 1
Bước 4:Giả [*] và giao với [* *] để suy ra giá trị m cần tìm.
3. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a]y = x3 - 3x2 + 2
b]y = x4 - 2x2
Lời giải
a] TXĐ: D R
Ta có:
Bảng biến thiên [xét dấu y']:
x |
0 |
2 |
+ |
||||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [, 0] và [2, + ] , nghịch biến trên khoảng [0; 2].
b] TXĐ: D R
Ta có:
Bảng biến thiên [xét dấu y']:
x |
- | -1 |
0 |
1 |
+ |
||||
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [-1,0] và [1, +] , nghịch biến trên khoảng [-, -1] và [0; 1].
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a]
b]
Lời giải
a] TXĐ:
Bảng biến thiên [xét dấu y']:
x |
- |
-2 |
0 |
2 |
+ |
|||||
+ |
0 |
- |
- |
0 |
+ |
|||||
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [-, -2] và [2, +] , hàm số nghịch biến trên khoảng [ 2; 0] và [0; 2].
b] TXĐ:
Ta có:
Bảng biến thiên [xét dấu y']:
x |
- |
-2 |
1 |
4 |
+ |
|||||
+ |
0 |
- |
- |
0 |
+ |
|||||
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [-, -2] và [4, +], hàm số nghịch biến trên các khoảng [ 2; 1] và [1; 4].
4. Luyện tập
Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
a] y = -x2 + 2x + 5 b] y =
Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a] y =
Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a] y = -x4 + 2x2 - 3 b] y =
Bài 4. Chứng minh rằng hàm số sinx-x nghịch biến trên nửa khoảng [0,
Bài 5. Tìm m để hàm số
Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi