1 Bảy hàng đẳng thức đáng nhớ: 1. [A +B]2= A2 + 2AB + B2 2. [A - B]2 = A2 - 2AB +B2 3. A2 - B2= [A - B].[A + B] 4. [A + B]3 = A3 +3A2B +3AB2 +B3 5. [A - B]3 = A3 - 3A2B - 3AB2-B3 6. A3 + B3 = [A+B].[A2 - AB +B2] 7. A3 - B3 = [A-B] . [A2+ AB + B2] Chú ý: Các hàng đẳng thức [4] và [5] nhiều khi còn được viết dưới dạng sau: [A + B]3 = A3 + B3 +3AB.[ A + B] [A - B]3= A3 - B3 - 3AB.[A - B] 2 Bình phương một tổng N hạng tử: 3 Mở rộng[ nhị thức newton] Định lí này nằm trong đặc biệt đã được giảng dạy ở các trung học và mang tên là cácHằng đẳng thức đáng nhớ Ví dụ: điển hình nhất là nhị thức là công thức bình phương củax+ y Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn củax+ytương ứng với các hàng sau của tam giác: Chú ý rằng:
Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ: Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai. 16.Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu; a] x2+ 2x + 1; b] 9x2+ y2+ 6xy; c] 25a2+ 4b2– 20ab; d] x2– x + Bài giải: a] x2+ 2x + 1 = x2+ 2 . x . 1 + 12 = [x + 1]2 b] 9x2+ y2+ 6xy = [3x]2+ 2 . 3 . x . y + y2= [3x + y]2 c] 25a2+ 4b2– 20ab = [5a]2– 2 . 5a . 2b + [2b]2= [5a – 2b]2 Hoặc 25a2+ 4b2– 20ab = [2b]2– 2 . 2b . 5a + [5a]2= [2b – 5a]2 d]x2– x += x2– 2 . x . Hoặc x2– x +=- x + x2=- 2 .. x + x2= 17.Chứng minh rằng: [10a + 5]2= 100a . [a + 1] + 25. Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5. Áp dụng để tính: 252, 352, 652, 752. Bài giải: Ta có: [10a + 5]2= [10a]2+ 2 .10a . 5 + 52 = 100a2+ 100a + 25 = 100a[a + 1] + 25. Cách tính nhaame bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5; Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được [10a + 5]2= 100a[a + 1] + 25 Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a[a + 1] rồi viết 25 vào bên phải. Áp dụng; - Để tính 252ta tính 2[2 + 1] = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625. - Để tính 352ta tính 3[3 + 1] = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225. - 652= 4225 - 752= 5625. 18. Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ: a] x2+ 6xy + … = [… + 3y]2; b] ... – 10xy + 25y2= [… - …]2; Hãy nêu một số đề bài tương tự. Bài giải: a] x2+ 2 . x . 3y + … = […+3y]2 x2+ 2 . x . 3y + [3y]2= [x + 3y]2 Vậy: x2+ 6xy +9y2= [x + 3y]2 b] …-2 . x . 5y + [5y]2= [… - …]2; x2– 2 . x . 5y + [5y]2= [x – 5y]2 Vậy: x2– 10xy + 25y2= [x – 5y]2 Đề bài tương tự: Chẳng hạn: 4x + 4xy + … = [… + y2] … - 8xy + y2= [… - …]2 20. Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau: x2+ 2xy + 4y2= [x + 2y]2 Bài giải: Nhận xét sự đúng, sai: Ta có: [x + 2y]2= x2+ 2 . x . 2y + 4y2 = x2+ 4xy + 4y2 Nên kết quả x2+ 2xy + 4y2= [x + 2y]2sai. 21. Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu: a] 9x2– 6x + 1; b] [2x + 3y]2+ 2 . [2x + 3y] + 1. Hãy nêu một đề bài tương tự. Bài giải: a] 9x2– 6x + 1 = [3x]2– 2 . 3x . 1 + 12= [3x – 1]2 Hoặc 9x2– 6x + 1 = 1 – 6x + 9x2= [1 – 3x]2 b] [2x + 3y] = [2x + 3y]2+ 2 . [2x + 3y] . 1 + 12 = [[2x + 3y] + 1]2 = [2x + 3y + 1]2 Đề bài tương tự. Chẳng hạn: 1 + 2[x + 2y] + [x + 2y]2 4x2– 12x + 9… 22. Tính nhanh: a] 1012; b] 1992; c] 47.53. Bài giải: a] 1012= [100 + 1]2= 1002+ 2 . 100 + 1 = 10201 b] 1992= [200 – 1]2 = 2002– 2 . 200 + 1 = 39601 c] 47.53 = [50 – 3][50 + 3] = 502– 32= 2500 – 9 = 2491. 23.Chứng minh rằng: [a + b]2= [a – b]2+ 4ab; [a – b]2= [a + b]2– 4ab. Áp dụng: a] Tính [a – b]2, biết a + b = 7 và a . b = 12. b] Tính [a + b]2, biết a - b = 20 và a . b = 3. Bài giải: a] [a + b]2= [a – b]2+ 4ab - Biến đổi vế trái: [a + b]2= a2 +2ab + b2= a2– 2ab + b2+ 4ab = [a – b]2+ 4ab Vậy [a + b]2= [a – b]2+ 4ab - Hoặc biến đổi vế phải: [a – b]2+ 4ab = a2– 2ab + b2+ 4ab = a2+ 2ab + b2 = [a + b]2 Vậy [a + b]2= [a – b]2+ 4ab b] [a – b]2= [a + b]2– 4ab Biến đổi vế phải: [a + b]2– 4ab = a2 +2ab + b2– 4ab = a2– 2ab + b2= [a – b]2 Vậy [a – b]2= [a + b]2– 4ab Áp dụng: Tính: a] [a – b]2= [a + b]2– 4ab = 72– 4 . 12 = 49 – 48 = 1 b] [a + b]2= [a – b]2+ 4ab = 202+ 4 . 3 = 400 + 12 = 412 24.Tính giá trị của biểu thức 49x2– 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau: a] x = 5; b] x = Bài giải: 49x2– 70x + 25 = [7x]2– 2 . 7x . 5 + 52= [7x – 5]2 a] Với x = 5: [7 . 5 – 5]2= [35 – 5]2= 302= 900 b] Với x =: [7 .– 5]2= [1 – 5]2= [-4]2= 16 Bài 25. Tính: a] [a + b + c]2; b] [a + b – c]2; c] [a – b – c]2 Bài giải: a] [a + b + c]2= [[a + b] + c]2= [a + b]2+ 2[a + b]c + c2 = a2+ 2ab + b2+ 2ac + 2bc + c2 = a2+ b2+ c2+ 2ab + 2bc + 2ac. b] [a + b – c]2= [[a + b] – c]2= [a + b]2- 2[a + b]c + c2 = a2+ 2ab + b2- 2ac - 2bc + c2 = a2+ b2+ c2+ 2ab - 2bc - 2ac. c] [a – b –c]2= [[a – b] – c]2= [a – b]2– 2[a – b]c + c2 = a2– 2ab + b2– 2ac + 2bc + c2 = a2+ b2+ c2– 2ab + 2bc – 2ac. Bài 26. Tính: a] [2x2+ 3y]3; b] [x – 3]3 Bài giải: a] [2x2+ 3y]3= [2x2]3 + 3[2x2]2. 3y + 3 . 2x2. [3y]2+ [3y]3 = 8x6+ 3 . 4x4. 3y + 3 . 2x2. 9y2+ 27y3 = 8x6+ 36x4y + 54x2y2+ 27y3 b] [x – 3]3= = =x3– Bài 27.Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu: a] – x3+ 3x2– 3x + 1; b] 8 – 12x + 6x2– x3. Bài giải: a] – x3+ 3x2– 3x + 1 = 1 – 3 . 12. x + 3 . 1 . x2– x3 = [1 – x]3 b] 8 – 12x + 6x2– x3= 23– 3 . 22. x + 3 . 2 . x2– x3 = [2 – x]3 Bài 28. Tính giá trị của biểu thức: a] x3+ 12x2+ 48x + 64 tại x = 6; b] x3– 6x2+ 12x- 8 tại x = 22. Bài giải: a] x3+ 12x2+ 48x + 64 = x3+ 3 . x2. 4 + 3 . x . 42+ 43 = [x + 4]3 Với x = 6: [6 + 4]3= 103= 1000 b] x3– 6x2+ 12x- 8 = x3– 3 . x2. 2 + 3 . x . 22- 23 Với x = 22: [22 – 2]3= 203= 8000 Bài 29. Đố: Đức tính đáng quý. Hãy viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương hoặc lập phương của một tổng hoặc một hiệu, rồi điền chữ cùng dòng với biều thức đó vào bảng cho thích hợp. Sau khi thêm dấu, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quý báu của con người. x3– 3x2+ 3x – 1 N 16 + 8x + x2 U 3x2+ 3x + 1 + x3 H 1 – 2y + y2 Â Bài giải: Ta có: N: x3– 3x2+ 3x – 1 = x3– 3 . x2. 1+ 3 . x .12– 13= [x – 1]3 U: 16 + 8x + x2= 42+ 2 . 4 . x + x2= [4 + x]2 = [x + 4]2 H: 3x2+ 3x + 1 + x3= x3+ 3x2+ 3x + 1 = [x + 1]3= [1 + x]3 Â: 1 – 2y + y2= 12- 2 . 1 . y + y2= [1 - y]2 = [y - 1]2 Vậy: Đức tính đáng quý là "NHÂN HẬU" Chú ý: Có thế khai triển các biểu thức [x – 1]3, [x + 1]3, [y - 1]2, [x + 4]2... để tìm xem kết quả ứng với chữ nào và điền vào bảng. Bài 30.Rút gọn các biểu thức sau: a] [x + 3][x2– 3x + 9] – [54 + x3] b] [2x + y][4x2– 2xy + y2] – [2x – y][4x2+ 2xy + y2] Bài giải: a] [x + 3][x2– 3x + 9] – [54 + x3] = [x + 3][x2– 3x + 32] - [54 + x3] = x3+ 33- [54 + x3] = x3+ 27 - 54 - x3 = -27 b] [2x + y][4x2– 2xy + y2] – [2x – y][4x2+ 2xy + y2] = [2x + y][[2x]2– 2 . x . y + y2] – [2x – y][2x]2+ 2 . x . y + y2] = [[2x]3+ y3]- [[2x]3- y3] = [2x]3+ y3- [2x]3+ y3= 2y3 Bài 31.Chứng minh rằng: a] a3+ b3= [a + b]3– 3ab[a + b] b] a3– b3= [a – b]3+ 3ab[a – b] Áp dụng: Tính a3+ b3, biết a . b = 6 và a + b = -5 Bài giải: a] a3+ b3= [a + b]3– 3ab[a + b] Thực hiện vế phải: [a + b]3– 3ab[a + b] = a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3– 3a2b – 3ab2 = a3+ b3 Vậy a3+ b3= [a + b]3– 3ab[a + b] b] a3– b3= [a – b]3+ 3ab[a – b] Thực hiện vế phải: [a – b]3+ 3ab[a – b] = a3- 3a2b+ 3ab2- b3+ 3a2b – 3ab2 = a3– b3 Vậy a3– b3= [a – b]3+ 3ab[a – b] Áp dụng: Với ab = 6, a + b = -5, ta được: a3+ b3= [a + b]3– 3ab[a + b] = [-5]3- 3 . 6 . [-5] = -53+ 3 . 6 . 5 = -125 + 90 = -35.
a] [3x + y][ b] [2x -][+ 10x +] = 8x3- 125. Bài giải: a] Ta có: 27x3+ y3= [3x]3+ y3= [3x + y][[3x]2– 3x . y + y2] = [3x + y][9x2– 3xy + y2] Nên: [3x + y] [9x2- 3xy+ y2] = 27x3+ y3 b] Ta có:8x3- 125 = [2x]3- 53= [2x - 5][[2x]2+ 2x . 5 + 52] = [2x - 5][4x2+ 10x + 25] Nên: [2x - 5][4x2+ 10x + 25] = 8x3- 125 Bài 33. Tính: a] [2 + xy]2 b] [5 – 3x]2 c] [5 – x2][5 + x2] d] [5x – 1]3 e] [2x – y][4x2+ 2xy + y2] f] [x + 3][x2– 3x + 9] Bài giải: a] [2 + xy]2= 22+ 2 . 2 . xy + [xy]2= 4 + 4xy + x2y2 b] [5 – 3x]2= 52– 2 . 5 . 3x + [3x]2= 25 – 30x + 9x2 c][5 – x2][5 + x2] = 52– [x2]2= 25 – x4 d] [5x – 1]3= [5x]3– 3 . [5x]2. 1 + 3 . 5x . 12– 13= 125x3– 75x2+ 15x – 1 e] [2x – y][4x2+ 2xy + y2] = [2x – y][[2x]2+ 2x . y + y2] = [2x]3– y3= 8x3– y3 f] [x + 3][x2– 3x + 9] = [x + 3][x2– 3x + 32] = x3+ 33= x3+ 27. Bài 34. Rút gọn các biểu thực sau: a] [a + b]2– [a – b]2; b] [a + b]3– [a – b]3– 2b3 c] [x + y + z]2– 2[x + y + z][x + y] + [x + y]2 Bài giải: a] [a + b]2– [a – b]2= [a2+ 2ab + b2] – [a2– 2ab + b2] = a2+ 2ab + b2– a2+ 2ab - b2= 4ab Hoặc [a + b]2– [a – b]2= [[a + b] + [a – b]][[a + b] – [a – b]] = [a + b + a – b][a + b – a + b] = 2a . 2b = 4ab b] [a + b]3– [a – b]3– 2b3 = [a3+ 3a2b + 3ab2+ b3] – [a3– 3a2b + 3ab2– b3] – 2b3 = a3+ 3a2b + 3ab2+ b3– a3+ 3a2b - 3ab2+ b3– 2b3 = 6a2b Hoặc [a + b]3– [a – b]3– 2b3= [[a + b]3– [a – b]3] – 2b3 = [[a + b] – [a – b]][[a + b]2+ [a + b][a – b] + [a – b]2] – 2b3 = [a + b – a + b][a2+ 2ab + b2+ a2– b2+ a2– 2ab + b2] – 2b3 = 2b . [3a2+ b2] – 2b3= 6a2b + 2b3– 2b3= 6a2b c][x + y + z]2– 2[x + y + z][x + y] + [x + y]2 = x2+ y2+ z2+ 2xy + 2yz + 2xz – 2[x2+ xy + yx + y2+ zx + zy] + x2+ 2xy + y2 = 2x2+ 2y2+ z2+ 4xy + 2yz + 2xz – 2x2– 4xy – 2y2– 2xz – 2yz = z2 Bài 35. Tính nhanh: a] 342+ 662+ 68 . 66; b] 742+ 242– 48 . 74. Bài giải: a] 342+ 662+ 68 . 66 = 342+ 2 . 34 . 66 + 662= [34 + 66]2= 1002= 10000. b] 742+ 242– 48 . 74 = 742- 2 . 74 . 24 + 242= [74 - 24]2 =502=2500 Bài 36.Tính giá trị của biểu thức: a] x2+ 4x + 4 tại x = 98; b] x3+ 3x2+ 3x + 1 tại x = 99 Bài giải: a] x2+ 4x + 4 = x2+ 2 . x . 2 + 22= [x+ 2]2 Với x = 98: [98+ 2]2=1002= 10000 b] x3+ 3x2+ 3x + 1 = x3+ 3 . 1 . x2+ 3 . x .12+ 13= [x + 1]3 Với x = 99: [99+ 1]3= 1003= 1000000 Bài 38. Chứng minh các đẳng thức sau: a] [a – b]3= -[b – a]3; b] [- a – b]2= [a + b]2 Bài giải: a] [a – b]3= -[b – a]3 Biến đổi vế phải thành vế trái: -[b – a]3= -[b3– 3b2a + 3ba2– a3] = - b3+ 3b2a - 3ba2+ a3 = a3– 3a2b + 3ab2– b3= [a – b]3 Sử dụng tính chất hai số đối nhau: [a – b]3 = [[-1][b – a]]3= [-1]3[b – a]3= -13. [b – a]3= - [b – a]3 b] [- a – b]2= [a + b]2 Biến đổi vế trái thành vế phải: [- a – b]2= [[-a] + [-b]]2 = [-a]2 +2 . [-a] . [-b] + [-b]2 = a2 + 2ab + b2= [a + b]2 Sử dụng tính chất hai số đối nhau: [-a – b]2= [[-1] . [a + b]]2= [-1]2. [a + b]2= 1 . [a + b]2= [a + b]2 |