Cách tính phương trình có bao nhiêu nghiệm
1) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MODE 7 2) VÍ DỤ MINH HỌA GIẢI Ta thấy khi x=0 thì F(0)=0 vậy x=0 là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) nhưng không có giá trị nào làm cho F(X)=0 hoặc khoảng nào làm cho F(X) đổi dấu. Điều này có nghĩa x=0 là nghiệm duy nhất Kết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án B Cách tham khảo : Tự luận Vì ${9^x} > 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế cho ${9^x}$ Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow 6.\frac{{{4^x}}}{{{9^x}}} – 12.\frac{{{6^x}}}{{{9^x}}} + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow 6.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} – 12.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + 6 = 0$ (1) Đặt ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}$ là t thì ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} = {t^2}$ . Khi đó (1) $ \Leftrightarrow 6{t^2} – 12t + 6 = 0 \Leftrightarrow 6{\left( {t – 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1$ Vậy ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$ Bình luận : Để sử dụng phương pháp Casio mà không bị sót nghiệm ta có thể sử dụng vài thiết lập miền giá trị của X để kiểm tra. Ngoài Start -9 End 10 Step 1 ta có thể thiết lập Start -4 End 5 Start 0.5 Ta quan sát bảng giá trị vẫn có 1 nghiệm x=0 duy nhất vậy ta có thể yên tâm hơn về lựa chọn của mình. Theo cách tự luận ta thấy các số hạng đều có dạng bậc 2. Ví dụ ${4^x} = {\left( {{2^x}} \right)^2}$ hoặc ${6^x} = {2^x}{.3^x}$ vậy ta biết đây là phương trình dạng đẳng cấp bậc 2. Dạng phương trình đẳng cấp bậc 2 là phương trình có dạng $m{a^2} + nab + p{b^2} = 0$ ta giaỉ bằng cách chia cho ${b^2}$ rồi đặt ẩn phụ là $\frac{a}{b} = t$ VD2-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017] Quan sát bảng giá trị ta thấy 3 khoảng đổi dấu như trên : $f\left( {0.6613} \right).f\left( {0.992} \right) < 0$ $ \Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0.6613;0.992} \right)$ $f\left( {1.3227} \right).f\left( {1.6634} \right) < 0$ $ \Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $\left( {1.3227;1.6534} \right)$ $f\left( {3.6376} \right).f\left( {3.9683} \right) < 0$ $ \Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $\left( {3.6376;3.9683} \right)$ $f\left( {4.6297} \right).f\left( {4.9604} \right) < 0$ $ \Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $\left( {4.6297;4.9604} \right)$ Kết luận : Phương trình ban đầu có 4 nghiệm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án D Bình luận : Đề bài yêu cầu tìm nghiệm thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$ nên Start = 0 và End = $2\pi $ Máy tính Casio tính được bảng giá trị gồm 19 giá trị nên bước nhảy Step = $\frac{{2\pi – 0}}{{19}}$ VD3-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Phương trình ${\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^x}$ có số nghiệm âm là : Vì đề bài yêu cầu nghiệm âm nên ta hiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 0 Step 0.5 Máy tính cho ta bảng giá trị : Ta thấy khi x=-4 thì F (-4) =0 vậy x= -4 là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) nhưng không có giá trị nào làm cho F(X)=0 hoặc khoảng nào làm cho F(X) đổi dấu. Điều này có nghĩa x= -4 là nghiệm âm duy nhất Kết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm âm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án C Cách tham khảo : Tự luận Logarit hai vế theo cơ số dương $\sqrt 3 + \sqrt 2 $ Phương trình ${\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^x}$ $ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x – 1}}}} = {\log _{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)^x}$ $ \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{x + 1}} = x{\log _{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{x + 1}} = – x \Leftrightarrow x\left( {\frac{3}{{x + 1}} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x + 1 = – 3 \Leftrightarrow x = – 4 \end{array} \right.$ x= -4 thỏa điều kiện. Vậy ta có x= -4 là nghiệm âm thỏa phương trình Bình luận : •Phương trình trên có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung. Vậy đây là dấu hiệu của phương pháp Logarit hóa 2 vế •Thực ra phương trình có 2 nghiệm $x = 0;x = – 4$ nhưng đề bài chỉ hỏi nghiệm âm nên ta chỉ chọn nghiệm x=-4 và chọn đáp án C là đáp án chính xác •Vì đề bài hỏi nghiệm âm nên ta thiết lập miền giá trị của x cũng thuộc miền âm (-9;0)
VD4-[THPT Yến Thế – Bắc Giang 2017] Số nghiệm của phương trình ${\left( {3 – \sqrt 5 } \right)^x} + 7{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} = {2^{x + 3}}$ là : Thiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 10 Step 1 Máy tính cho ta bảng giá trị: Ta thấy khi x=0 thì F(0)=0 vậy x=0 là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) Ta lại thấy $f\left( { – 3} \right).f\left( { – 2} \right) < 0$ vậy giữa khoảng $\left( { – 3; – 2} \right)$ tồn tại 1 nghiệm Kết luận : Phương trình ban đầu có 2 nghiệm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án A Cách tham khảo : Tự luận Vì ${2^x} > 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế cho ${2^x}$ Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + 7{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} – 8 = 0$ Đặt ${\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = t$ $\left( {t > 0} \right)$ thì ${\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}$ . Khi đó (1) $ \Leftrightarrow t + 7.\frac{1}{t} – 8 = 0 \Leftrightarrow {t^2} – 8t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 7 \end{array} \right.$ Với $t = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$ Với $t = 7 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 7 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}}}7$ Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x = 0;x = {\log _{\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}}}7$ Bình luận : • Nhắc lại một lần nữa nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình có nghiệm thuộc $\left( {a;b} \right)$ • Ta nhận thấy 2 đại lượng nghịch đảo quen thuộc $\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$ và $\frac{{3 – \sqrt 5 }}{2}$ nên ta tìm cách để tạo ra 2 đại lượng này bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho ${2^x}$ VD5: Số nghiệm của bất phương trình ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x^2} – 2x + 1}} + {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^{{x^2} – 2x – 1}} = \frac{4}{{2 – \sqrt 3 }}$ (1) là : Máy tính Casio cho ta bảng giá trị: Ta thấy $f\left( { – 1} \right).f\left( 0 \right) < 0$ vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc (-1,0) Ta thấy f(1)=0 vậy x=1 là nghiệm của phương trình (1) Lại thấy $f\left( 2 \right).f\left( 3 \right) < 0$ vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc (2;3) Kết luận : Phương trình (1) có 3 nghiệm $ \Rightarrow $ Chọn đáp án C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Số nghiệm của phương trình $\log {\left( {x – 1} \right)^2} = \sqrt 2 $ là : Ta thấy có hai khoảng đổi dấu $ \Rightarrow $ Phương trình ban đầu có 2 nghiệm $ \Rightarrow $ A là đáp án chính xác Chú ý : Để tránh bỏ sót nghiệm ta thường thử thêm 1 hoặc 2 lần nữa với hai khoảng Start End khác nhau Ví dụ Start -29 End -10 Step 1 hoặc Sart 11 End 30 Step 1. Ta thấy không có khoảng đổi dấu nào nữa $ \Rightarrow $ Chắc ăn hơn với 2 nghiệm tìm được Bài 2-[THPT Lục Ngạn – Bắc Giang 2017] Phương trình $\left( {x – 2} \right)\left[ {{{\log }_{0.5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) + 1} \right] = 0$ . Vì điều kiện chia hai khoảng nên ta MODE 7 hai lần. Lần thứ nhất với Start -7 End 2 Step 0.5 Ta thấy có 1 nghiệm x=1 Lần thứ hai với Start 3 End 12 Start 0.5 Ta lại thấy có nghiệm x=4 $ \Rightarrow $ Phương trình có 2 nghiệm 1 và 4 . $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D Bài 3-[THPT Lục Ngạn – Bắc Giang 2017] Phương trình ${3^{{x^2} – 2x – 3}} + {3^{{x^2} – 3x + 2}} = {3^{2{x^2} – 5x – 1}} + 1$ Ta thấy có 1 nghiệm x=-1 Tiếp tục MODE 7 với Start 0 End 9 Step 0.5 Ta lại thấy có thêm ba nghiệm x=1;2;3 $ \Rightarrow $ Tổng cộng 4 nghiệm $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Tìm số nghiệm của phương trình ${2^{\frac{1}{x}}} + {2^{\sqrt x }} = 3$ : Trên đoạn $\left[ {0;4.5} \right]$ không có nghiệm nào Tiếp tục MODE 7 với Start $4.5$ End 9 Step 0.25 Dự đoán phương trình vô nghiệm. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1 Giá trị của F(X) luôn tăng đến $ + \propto $ $ \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D Bài 5-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Cho phương trình $2{\log _2}x + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 – \sqrt x } \right) = \frac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {x – 2\sqrt x + 2} \right)$. Số nghiệm của phương trình là ; A. 2 nghiệm B. Vô số nghiệm C. 1 nghiệm D. Vô nghiệm GIẢI Phương trình $ \Leftrightarrow 2{\log _2}x + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 – \sqrt x } \right) – \frac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {x – 2\sqrt x + 2} \right) = 0$ (điều kiện $0 \le x \le 1$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 1 Step 0.1 Ta thấy có 1 nghiệm duy nhất thuộc khoảng $\left( {0.6;0.7} \right)$ $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C Bài 6-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017] Tìm số nghiệm của phương trình $\log {\left( {x – 2} \right)^2} = 2\log x + {\log _{\sqrt {10} }}\left( {x + 4} \right)$ A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 GIẢI Phương trình $ \Leftrightarrow \log {\left( {x – 2} \right)^2} – 2\log x – {\log _{\sqrt {10} }}\left( {x + 4} \right) = 0$ (điều kiện $x \ge 0$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25 Trên đoạn $\left[ {0;4.5} \right]$ có 1 nghiệm Tiếp tục MODE 7 với Start 4.5 End 9 Step 0.25 Trên khoảng này không thu được nghiệm nào. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1 Cũng không thu được nghiệm $ \Rightarrow $ Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C. Healthy4life
|