BÀI TOÁN: TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP VỊ TỰ
Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự . Từ định nghía nếu tâm vị tự là I[a;b] , điểm M[x;y] điểm M[x;y] thì ta có :
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = k\overrightarrow {IM} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - a = k\left[ {x - a} \right]}\\ {y' - b = k\left[ {y - b} \right]} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = k\left[ {x - a} \right] + a}\\ {y' = k\left[ {y - b} \right] + b} \end{array}} \right.\left[ * \right] \end{array}$
Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k.
Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự . Từ định nghía nếu tâm vị tự là I[a;b] , điểm M[x;y] điểm M[x;y] thì ta có :
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = k\overrightarrow {IM} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - a = k\left[ {x - a} \right]}\\ {y' - b = k\left[ {y - b} \right]} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = k\left[ {x - a} \right] + a}\\ {y' = k\left[ {y - b} \right] + b} \end{array}} \right.\left[ * \right] \end{array}$
Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y-6=0 . Hãy viết phương trình của đường thẳng d là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I[1;2] tỉ số vị tự k=-2 ?
Giải
Gọi M[x;y] thuộc d ,M[x;y] là một điểm bát kỳ thuộc d thì theo biểu thức tọa độ của phép vị tự ta có :$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - 1 = - 2\left[ {x - 1} \right]}\\ {y' - 2 = - 2\left[ {y - 2} \right]} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x' - 1}}{{ - 2}} + 1 = \frac{{x' - 3}}{{ - 2}}}\\ {y = \frac{{y' - 2}}{{ - 2}} + 2 = \frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \end{array}} \right. \end{array}$
Thay vào phương trình của đường thẳng d:
$\begin{array}{l} 3\left[ {\frac{{x' - 3}}{{ - 2}}} \right] + 2\left[ {\frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \right] - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^\prime } + 2y' - 9 = 0 \end{array}$
Do vậy d: 3x+2y-9=0 .
Ví dụ 2 .[ Bài 1.23-tr33-BTHH11CB]
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y-4=0
a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k=3 .
b/ Hãy viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép vị tự tâm I [-1;2] tỉ số vị tự k=-2
Giải
a/ Từ công thức tọa độ :$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - 0 = 3\left[ {x - 0} \right]}\\ {y' - 0 = 3\left[ {y - 0} \right]} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x'}}{3}}\\ {y = \frac{{y'}}{3}} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2\left[ {\frac{{x'}}{3}} \right] + \left[ {\frac{{y'}}{3}} \right] - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2x' + y' - 12 = 0 \end{array}$
Do đó đường thẳng d: 2x+y-12=0 .
b/ Tương tự :
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' + 1 = - 2\left[ {x + 1} \right]}\\ {y' - 2 = - 2\left[ {y - 2} \right]} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x' + 1}}{{ - 2}} - 1 = \frac{{x' + 3}}{{ - 2}}}\\ {y = \frac{{y' - 2}}{{ - 2}} + 2 = \frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2\left[ {\frac{{x' + 3}}{{ - 2}}} \right] + \left[ {\frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \right] - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^\prime } + y' + 8 = 0 \end{array}$
Do đó đường thẳng d: 2x+y+8=0 .
Ví dụ 3. [ Bài 1.24-tr33-BTHH11-CB]
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn [C ]: \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = 9\]. Hãy viết phương trình đường tròn [C] là ảnh của đường tròn [C ] qua phép vị tự tâm I[1;2] tỉ số k=-2 .
Giải
Đường tròn [C ] có tâm O[3;-1] bán kính R=3. Gọi O [x;y] là tâm của [C] ,R là bán kính của [C] . Ta có tọa độ của O thỏa mãn biểu thực tọa độ của phép vị tự :$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - 1 = - 2\left[ {x - 1} \right]}\\ {y' - 2 = - 2\left[ {y - 2} \right]}\\ {\frac{{R'}}{R} = 2} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x' - 1}}{{ - 2}} + 1 = \frac{{x' - 3}}{{ - 2}}}\\ {y = \frac{{y' - 2}}{{ - 2}} + 2 = \frac{{y' - 4}}{{ - 2}}}\\ {R' = 2.3 = 6} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow {\left[ {\frac{{x' - 3}}{{ - 2}} - 3} \right]^2} + {\left[ {\frac{{y' - 4}}{{ - 2}} + 1} \right]^2} = 9 \end{array}$
\[ \Leftrightarrow {\left[ {x' + 3} \right]^2} + {\left[ {y' - 6} \right]^2} = 36\].
Vậy [C] : \[ \Leftrightarrow {\left[ {x + 3} \right]^2} + {\left[ {y - 6} \right]^2} = 36\]
Xem thêm:
- Dạng 2: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán hình học
- Dạng 3: Quỹ tích điểm
- Dạng 4: Bài toán chứng minh trong phép vị tự
- Dạng 5: Tìm ảnh của một điểm và một đường thẳng qua phép vị tự