Cách giải phương trình bậc nhất 2 ẩn

1. Các kiến thức cần nhớ

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

+] Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạngax+by=cax + by = c

Trong đó a,b,ca,b,c là những số cho trước aa \ne00 hoặc b0b \ne 0 .

- Nếu các số thực x0, y0{x_0},\,{y_0} thỏa mãn ax+by=cax + by = c thì cặp số [x0, y0][{x_0},\,{y_0}] được gọi là nghiệm của phương trình ax+by=cax + by = c.

- Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy , mỗi nghiệm [x0, y0][{x_0},\,{y_0}] của phương trình ax+by=cax + by = cđược biểu diễn bới điểm có tọa độ [x0, y0][{x_0},\,{y_0}].

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=cax + by = c luôn có vô số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳngd:ax+by=c.d:ax + by = c.

+] Nếu a0a \ne 0 và b=0b = 0 thì phương trình có nghiệm x=cayR\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.

và đường thẳng dd song song hoặc trùng với trục tung.

+] Nếu a=0a = 0 và b0b \ne 0 thì phương trình có nghiệm xRy=cb\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.

và đường thẳng dd song song hoặc trùng với trục hoành.

+] Nếu a0a \ne 0 và b0b \ne 0 thì phương trình có nghiệm xRy=-abx+cb\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.

và đường thẳng dd là đồ thị hàm số y=-abx+cby = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp:

Nếu cặp số thực [x0, y0][{x_0},\,{y_0}]thỏa mãn ax+by=cax + by = c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình ax+by=cax + by = c.

Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.

Phương pháp:

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=cax + by = c.

1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn xx theo yy [ hoặc yy theo xx] rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.
2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax+by=cax + by = c.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax+by=cax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:

1. Nếu
   và
   thì phương trình đường thẳng d:ax+by=cd: ax + by = ccó dạng d:x=cad:x = \dfrac{c}{a}. Khi đó dd song song hoặc trùng với OyOy .
2. Nếu
   và
   thì phương trình đường thẳng d:ax+by=cd: ax + by = c có dạng d:y=cbd:y = \dfrac{c}{b}. Khi đó dd song song hoặc trùng với OxOx .
3. Đường thẳng d:ax+by=cd:ax + by = c đi qua điểm M[x0, y0]M[{x_0},\,{y_0}] khi và chỉ khi ax0+by0=ca{x_0} + b{y_0} = c.

Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=cax + by = c, ta làm như sau:

Cách 1:

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ [chẳng hạnxx ] theo ẩn kia.
Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức củaxx
Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức củaxx bằng một số nguyên

Cách 2:

Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên [x0, y0][{x_0},\,{y_0}] của phương trình.

Bước 2. Đưa phương trình về dạng a[x-x0]+b[y-y0]=0a[x - {x_0}] + b[y - {y_0}] = 0 từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.