I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG
- Tính đồng biến nghịch biến: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng I. Nếu $f'\left[ x \right] \ge 0$ với mọi $x \in I$ [hoặc $f'\left[ x \right] \le 0$ với mọi $x \in I$] và $f'\left[ x \right] = 0$ tại hữu hạn điểm của I thì hàm số $y = f\left[ x \right]$ đồng biến [hoặc nghịch biến] trên I
- Cách 1 Casio: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được, khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biến, khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng ngịch biến.
- Cách 2 Casio: Tính đạo hàm, thiết lập bât phương trình đạo hàm, cô lập m và đưa về dạng $m \ge f\left[x \right]$ hoặc $m \le f\left[ x \right]$ . Tìm Min,Max của hàm $f\left[ x \right]$ rồi kết luận.
- Cách 3 Casio: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio [đôi với bất phương trình bậc hai, bậc ba]
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 ]
Hỏi hàm số $y = 2{x^4} + 1$ đồng biến trên khoảng nào ?
A. $\left[ { - \propto ; - \frac{1}{2}} \right]$
B. $\left[ {0; + \propto } \right]$
C. $\left[ { - \frac{1}{2}; + \propto } \right]$
D. $\left[ { - \propto ;0} \right]$
Học Lớp hướng dẫn giảiCách 1 : CASIO MODE 7
Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập Start -10 End $ - \frac{1}{2}$ Step 0.5
Ta thấy khi x càng tăng thì tương ứng $f\left[ x \right]$ càng tăng $ \Rightarrow $
Đáp án B đúng
Cách 2 : CASIO ĐẠO HÀM
Kiểm tra khoảng $\left[ { - \propto ; - \frac{1}{2}} \right]$ ta tính $f'\left[ { - \frac{1}{2} - 0.1} \right]$
Đạo hàm ra âm [hàm số nghịch biến] $ \Rightarrow $ Giá trị $ - \frac{1}{2} - 0.1$ vi phạm $ \Rightarrow $ Đáp án A sai
Kiểm tra khoảng $\left[ { - \propto ;0} \right]$ ta tính $f'\left[ {0 - 0.1} \right]$
Điểm $0 - 0.1$ vi phạm $ \Rightarrow $ Đáp án D sai và C cũng sai $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là B
Xác minh thêm 1 lần nữa xem B đúng không . Ta tính $f'\left[ {1 + 0.1} \right] = \frac{{1331}}{{125}}$ $ \Rightarrow $ Chính xác
Hàm số bậc 4 khi đạo hàm sẽ ra bậc 3. Ta nhẩm các hệ số này trong đầu. Sử dụng máy tính Casio để giải bất phương trình bậc 3
Rõ ràng $x \ge 0$
Cách tham khảo : Tự luận
Tính đạo hàm $y' = 8{x^3}$
Để hàm số đồng biến thì $y' \ge 0 \Leftrightarrow {x^3} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0$ .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ {0; + \propto } \right]$
Bình luận: Khi sử dụng Casio ta phải để ý: Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ {a;b} \right]$ thì sẽ luôn tăng khi x tăng. Nếu lúc tăng lúc giảm thì không đúng.
Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là :
A. $m \le 1$
B. $m \ge 3$
C. $ - 1 \le m \le 3$
D. $m < 3$
Học Lớp hướng dẫn giảiĐể giải các bài toán liên quan đến tham số m thì ta phải cô lập m
Hàm số đồng biến $ \Leftrightarrow y' \ge 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 3{x^3} - 6x = f\left[ x \right]$
Vậy để hàm số y đồng biến trên tập xác định thì $m \ge f\left[ x \right]$ hay $m \ge f\left[ {\max } \right]$ với mọi x thuộc R
Để tìm Giá trị lớn nhất của $f\left[ x \right]$ ta vẫn dùng chức năng MODE 7 nhưng theo cách dùng của kỹ thuật Casio tìm min max
Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn nhất của f[x] là 3 khi x = - 1
Vậy m 3
Cách tham khảo : Tự luận
Tính đạo hàm $y' = 3{x^2} + 6x + m$
Để hàm số đồng biến thì $y' \ge 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + m \ge 0$ với mọi $x \in R$ [*]
$ \Leftrightarrow \Delta ' \le 0 \Leftrightarrow 9 - 3m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 3$
Bình luận: Kiến thức [*] áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2: Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$ có $\Delta \le 0$ thì dấu của tam thức bậc 2 luôn cùng dấu với a .
Câu 3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 ]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{{\tan x - 2}}{{\tan x - m}}$ đồng biến trên khoảng $\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]$
A. $\left[ \begin{array}{l} m \le 0\\ 1 \le m < 2 \end{array} \right.$
B. $m < 2$
C. $1 \le m < 2$
D. $m \ge 2$
Học Lớp hướng dẫn giảiĐể bài toán dễ nhìn hơn ta tiến hành đặt ẩn phụ \: Đặt $\tan x = t$ . Đổi biến thì phải tìm miền giá trị của biến mới. Để làm điều này ta sử dụng chức năng MODE 7 cho hàm $f\left[ x \right] = \tan x$ .
Ta thấy $0 \le \tan x \le 1$ vậy $t \in \left[ {0;1} \right]$
Bài toán trở thành tìm m để hàm số $y = \frac{{t - 2}}{{t - m}}$ đồng biến trên khoảng $\left[ {0;1} \right]$
Tính đạo hàm : $y' = \frac{{\left[ {t - m} \right] - \left[ {t - 2} \right]}}{{{{\left[ {t - m} \right]}^2}}} = \frac{{2 - m}}{{{{\left[ {t - m} \right]}^2}}}$
$y' > 0 \Leftrightarrow \frac{{2 - m}}{{{{\left[ {t - m} \right]}^2}}} > 0 \Leftrightarrow m < 2$ [1]
Kết hợp điều kiện xác định $t - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne t \Rightarrow m \notin \left[ {0;1} \right]$ [2]
Từ [1] và [2] ta được $\left[ \begin{array}{l}
m \le 0\\
1 \le m < 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow $ Đáp án A là chính xác
Bình luận: Bài toán chứa tham só m ở dưới mẫu thường đánh lừa chúng ta. Nếu không tỉnh táo chúng ta sẽ chọn luôn đáp án B
Tuy nhiên điểm nhấn của bài toán này là phải kết hợp điều kiện ở mẫu số. $m \ne t$ mà $t \in \left[ {0;1} \right]$ vậy $m \notin \left[ {0;1} \right]$ .
Câu 4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ]
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số $y = \sin x - \cos x + 2017\sqrt 2 mx$ đồng biến trên R
A. $m \ge 2017$
B. $m < 0$
C. $m \ge \frac{1}{{2017}}$
D. $m \ge - \frac{1}{{2017}}$
Học Lớp hướng dẫn giảiCách 1 : CASIO
Tính đạo hàm $y' = \cos x + \sin x + 2017\sqrt 2 m$
$y' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - \sin x - \cos x}}{{2017\sqrt 2 }} = f\left[ x \right]$
Để hàm số luôn đồng biến trên R thì $m \ge f\left[ x \right]$ đúng với mọi $x \in R$ hay $m \ge f\left[ {\max } \right]$
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số ta lại sử dụng chức năng MODE 7. Vì hàm $f\left[ x \right]$ là hàm lượng giác mà hàm lượng giác $\sin x,\cos x$ thì tuần hoàn với chu kì $2\pi $ vậy ta sẽ thiết lập Start 0 End $2\pi $ Step $\frac{{2\pi }}{{19}}$
Quan sát bảng giá trị của F[x] ta thấy $f\left[ {\max } \right] = f\left[ {3.9683} \right] \approx {5.10^{ - 4}}$
Đây là 1 giá trị $ \approx \frac{1}{{2017}}$ vậy $m \ge \frac{1}{{2017}}$ $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C
Cách tham khảo : Tự luận
Tính đạo hàm $y' = \cos x + \sin x + 2017\sqrt 2 m$. $y' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - \sin x - \cos x}}{{2017\sqrt 2 }} = f\left[ x \right]$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì ${\left[ { - \sin x - \cos x} \right]^2} \le \left[ {{{\left[ { - 1} \right]}^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} \right]\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right] = 2$
$ \Rightarrow - \sqrt 2 \le \left[ { - \sin x - \cos x} \right] \le \sqrt 2 $
$ \Rightarrow \frac{{ - \sqrt 2 }}{{2017\sqrt 2 }} \le f\left[ x \right] \le \frac{{\sqrt 2 }}{{2017\sqrt 2 }}$
$f\left[ x \right]$ đạt giá trị lớn nhất là $\frac{{\sqrt 2 }}{{2017\sqrt 2 }} = \frac{1}{{2017}} \Rightarrow m \ge f\left[ {\max } \right] = \frac{1}{{2017}}$
Bình luận:
Vì chu kì của hàm $\sin x,\cos x$ là $2\pi $ nên ngoài thiết lập Start 0 End $2\pi $ thì ta có thể thiết lập Start $ - \pi $ End $ - \pi $
Nếu chỉ xuất hiện hàm $\tan x,\,\,\cot x$ mà hai hàm này tuần hoàn theo chu kì π thì ta có thể thiết lập Start 0 End $\pi $ Step $\frac{\pi }{{19}}$
Câu 5-[Thi thử chuyên Trần Phú Hải Phòng lần 1 ]
Tìm $m$ để hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2.
A. $m = 0$ B. $m < 3$ C. $m = 2$ D. $m > 3$
Học Lớp hướng dẫn giảiCách 1 : CASIO
Tính $y' = 3{x^3} + 6{x^2} + m$
Ta nhớ công thức tính nhanh Nếu hàm bậc 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $\alpha $ thì phương trình đạo hàm có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng $\alpha $
Với $\alpha $ là một số xác định thì $m$ cũng là 1 số xác định chứ không thể là khoảng $ \Rightarrow $ Đáp số phải là A hoặc C .
Với $m = 0$ phương trình đạo hàm $3{x^2} + 6x = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}
x = - 2\\
x = 0
\end{array} \right.$ và khoảng cách giữa chúng bằng 2
=> Đáp án A là chính xác
Cách tham khảo : Tự luận
Tính $y' = 3{x^3} + 6{x^2} + m$. Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình đạo hàm có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$ và $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 0$
Theo Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}{x_2} = \frac{m}{3}\end{array} \right.$
Giải $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]^2} = 4 \Leftrightarrow {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 4{x_1}{x_2} = 4$
$ \Leftrightarrow 4 - \frac{{4m}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 0$
Câu 6-[Thi thử chuyên KHTN HN lần 2 ]
Cho hàm số $y = - {x^4} + 2{x^2} + 1$ . Mệnh đền nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ { - \propto ; - 1} \right]$
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ { - \propto ;0} \right]$
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ {0; + \propto } \right]$
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ {1; + \propto } \right]$
Học Lớp hướng dẫn giảiGiải bất phương trình đạo hàm với lệnh
Rõ ràng hàm số đồng biến trên miền $\left[ { - \propto ; - 1} \right]$ và $\left[ {0;1} \right]$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Câu 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ]
Trong các hàng số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm [nghịch biến] trên R
A. $y = {\left[ {\frac{\pi }{3}} \right]^x}$
B. $y = {\left[ {\frac{5}{{3e}}} \right]^{ - x}}$
C. $y = {\left[ \pi \right]^{3x}}$
D. $y = {\left[ {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right]^x}$
Học Lớp hướng dẫn giảiHàm số ngịch biến trên R tức là luôn giảm
Kiểm tra tính nghịch biến $y = {\left[ {\frac{\pi }{3}} \right]^x}$của hàm với chức năng MODE 7 Start -9 End 10 Step 1
Ta thấy $f\left[ x \right]$ luôn tăng $ \Rightarrow $ A sai
Tương tự như vậy , với hàm $y = {\left[ {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right]^x}$ta thấy $f\left[ x \right]$ luôn giảm $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D
Câu 8-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình ]
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{{\left[ {m - 1} \right]x + 1}}{{2x + m}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định
A. $m < 2$
B. $\left[ \begin{array}{l}
m < - 1\\
m > 2
\end{array} \right.$
C. $m \ne 2$
D. $ - 1 < m < 2$
Học Lớp hướng dẫn giảiChọn m= -3 . Khảo sát hàm $y = \frac{{\left[ { - 3 - 1} \right]x + 1}}{{x - 3}}$ với chức năng MODE 7
Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm $ \Rightarrow $ m= -3 sai $ \Rightarrow $ A, B, C đều sai
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
Chú ý : Việc chọn m khéo léo sẽ rút ngắn quá trình thử đáp án
Câu 9 - [Thi thử chuyên Hạ Long Quảng Ninh lần 1 ]
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{{m - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$ nghịch biến trên khoảng $\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]$
A. $m \ge \frac{5}{2}$
B. $m \le \frac{5}{2}$
C. $m \le \frac{5}{4}$
D. $m \ge \frac{5}{4}$
Học Lớp hướng dẫn giảiChọn m=3. Khảo sát hàm $y = \frac{{3 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$ với chức năng MODE 7
Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm $ \Rightarrow $ m= 3 sai $ \Rightarrow $ A, D đều sai
Chọn $m = 1.3$ . Khảo sát hàm $y = \frac{{1.3 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$ với chức năng MODE 7
Ta thấy hàm số luôn $ \Rightarrow $ $m = 1.3$ đúng $ \Rightarrow $ B là đáp số chính xác [Đáp án C không chứa 1.3 nên sai]
Câu 10-[Thi thử chuyên Vị Thanh Hậu Giang lần 1 ]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = 2{\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x + m\sin x$ đồng biến trên khoảng $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$
A. $m > 0$
B. $m < \frac{3}{2}$
C. $m \ge \frac{3}{2}$
D. $m > \frac{3}{2}$
Học Lớp hướng dẫn giảiChọn $m = 5$ . Khảo sát hàm $y = 2{\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x + 5\sin x$ với chức năng MODE 7
Ta thấy hàm số luôn giảm $ \Rightarrow $ $m = - 5$ sai $ \Rightarrow $ B sai
Chọn $m = 1$ . Khảo sát hàm $y = 2{\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x + \sin x$ với chức năng MODE 7
Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm $ \Rightarrow $ m=1 sai $ \Rightarrow $ A sai
Chọn $m = \frac{3}{2}$ . Khảo sát hàm $y = 2{\sin ^3}x - 3{\sin ^2}x + \frac{3}{2}\sin x$ với chức năng MODE 7
Ta thấy hàm số luôn tăng $ \Rightarrow $ $m = \frac{3}{2}$ đúng C sai
Câu 11 [Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 ]
Tìm $m$ để hàm số $y = m{x^3} - {x^2} + 3x + m - 2$ đồng biến trên khoảng $\left[ { - 3;0} \right]$ ?
A. $m = 0$
B. $m = \pm 1$
C. $3m \ne \pm 1$
D. $m = 1$
Học Lớp hướng dẫn giảiTính đạo hàm $y' = 3m{x^2} - 2x + 3$ . Hàm số đồng biến $ \Leftrightarrow 3m{x^2} - 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{2x - 3}}{{3{x^2}}} = f\left[ x \right]$
Vậy $m \ge f\left[ {\max } \right]$ trên miền $\left[ { - 3;0} \right]$ . Tìm $f\left[ {\max } \right]$ bằng lệnh MODE 7
Ta thấy $f\left[ {\max } \right] = 0.3333... = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow $ $m \ge \frac{1}{3}$ sai $ \Rightarrow $ D là đáp số chính xác
Câu 12 [Thi thử THPT Bảo Lâm Lâm Đồng lần 1 ]
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{{{e^x} - m - 2}}{{{e^x} - {m^2}}}$ đồng biến trong khoảng $\left[ {\ln \frac{1}{4};0} \right]$
A. $m \in \left[ { - 1;2} \right]$
B. $m \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]$
C. $m \in \left[ {1;2} \right]$
D. $m \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {1;2} \right]$
Học Lớp hướng dẫn giảiChọn m=1 . Khảo sát hàm $y = \frac{{{e^x} - 1 - 2}}{{{e^x} - {1^2}}}$ với chức năng MODE 7
Ta thấy hàm số luôn tăng trên $ \Rightarrow $ m=1 nhận $ \Rightarrow $ A, D có thể đúng
Chọn m= -1 . Khảo sát hàm $y = \frac{{{e^x} - \left[ { - 1} \right] - 2}}{{{e^x} - {{\left[ { - 1} \right]}^2}}}$ với chức năng MODE 7
Ta thấy hàm số luôn không đổi [hàm hằng] $ \Rightarrow $ m= -1 loại $ \Rightarrow $ A sai và D là đáp số chính xac
Câu 13 [Thi thử chuyên Trần Phú Hải Phòng lần 1 ]
Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số $y = 2{x^3} + 3\left[ {m - 1} \right]{x^2} + 6\left[ {m - 2} \right]x + 3$ nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3.
A. $\left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 0\end{array} \right.$
B. $m > 6$
C. $m < 0$
D. $m = 9$
Học Lớp hướng dẫn giảiTính $y' = 6{x^2} + 6\left[ {m - 1} \right]x + 6\left[ {m - 2} \right]$ . Theo Vi-et ta có : $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 - m\\
{x_1}{x_2} = m - 2
\end{array} \right.$
Khoảng nghịch biến lớn hơn 3 $ \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 3 \Leftrightarrow {\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]^2} > 9$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 4{x_1}{x_2} - 9 > 0$
$ \Leftrightarrow {\left[ {1 - m} \right]^2} - 4\left[ {m - 2} \right] - 9 > 0$
Sử dụng MODE 7 với Start - 3 End 10 Step 1 để giải bất phương trình trên
Xem đính kèm 2887
Ta nhận được $\left[ \begin{array}{l}
m > 6\\
m < 0
\end{array} \right.$
=> A là đáp số chính xác.