Cách Bấm máy khai triển Maclaurin

TẬP ĐỀ LƯU HÀNH NỘI BỘ!
§Ò Sè 1
1

Câu 1: [1,25 điểm] Tính giới hạn: lim x 2 cos x sin 2 x
x 0

Câu 2: [1,25 điểm] Khai triển Maclaurin đến lũy thừa bậc 4 với phần dư dạng Peano:
f x ln x 1

x 1

Câu 3: [2,5 điểm] Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu
ngược p 2620 11,5Q .
a] Tính hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá p 10 và nêu ý nghĩa;
b] Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa biết hàm chi phí cận biên
MC 5Q 2 2Q 120 .
Câu 4: [1,25 điểm] Cho hàm ẩn z x, y xác định bởi phương trình:
x 2 y 2 z 2 2x 4y 2z 3 0

Tìm các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 và viết biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của hàm z x, y .
Câu 5: [1,25 điểm] Giả sử hàm lợi ích khi mua sắm hàng hóa của người tiêu dùng
U x10,5 x 2 0,6

Trong đó, x1 , x 2 lần lượt là lượng hàng hóa thứ 1 và thứ 2. Xác định cơ cấu mua sắm để tối đa
hóa lợi ích, biết rằng giá mỗi hàng hóa thứ 1 và 2 tương ứng là p1 15, p 2 18 và ngân sách
dành cho mua sắm cố định là m 330 .
Câu 6: [1,25 điểm] Một công ty có hàm lợi nhuận cận biên được cho bởi
x 1000x 2e 0,2x , với x là lượng sản phẩm bán được. Tìm hàm tổng lợi nhuận biết rằng
công ty có lợi nhuận 2000 USD khi x 0 .
Câu 7: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân:

1 e

xy

.y x y x e xy y' 0

§Ò Sè 2
Câu 1: [1,25 điểm] Tìm các đạo hàm riêng tại điểm 2,0 của hàm số
x 1

2
; víi
y. 2x 1.arctan y
w

0
; víi


x,y ,

y0

x,y ,

y0

Câu 2: [1,25 điểm] Xác định khoảng tăng, giảm và tìm cực trị của hàm số:
y x. 3 2x 2

x x2
3
Câu 3: [1,25 điểm] Cho hàm ẩn y y x xác định từ phương trình 2
y
2


Chứng tỏ hàm số y y x này là nghiệm của phương trình vi phân:
2x.y 3xy 2 1 .y

y
0
x

Câu 4: [1,25 điểm] Như ta đã biết, giá trị của quỹ vốn tại thời điểm t chính là lượng đầu tư
tích lũy đến thời điểm t . Giả sử rằng hàm đầu tư của một dự án được cho bởi
I t 100000t.e t , 0 t 24 [ t tính theo tháng], hãy lập hàm quỹ vốn K t theo thời gian t ,
biết rằng tại thời điểm ban đầu t 0 , quỹ vốn đã có 120000 USD.
Câu 5: [1,25 điểm] Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó
trên hai trị trường khác nhau [được phân biệt giá]. Cho biết hàm chi phí cận biên:
MC 10,5 0,1.Q

Q Q1 Q 2

và cầu của thị trường đối với sản phẩm của công ty:
Thị trường 1: p1 72 0,3.Q1 ; Thị trường 2: p 2 54 0,15.Q 2
Xác định sản lượng và giá bán trên trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa.
Câu 6: [1,25 điểm] Một nhà máy sản xuất thùng container dự định sản xuất các thùng hình
hộp chữ nhật với thể tích 12m3 có đáy và nắp là các hình vuông. Biết rằng chi phí để sản xuất
nắp và các mặt bên là 2USD / m 2 , chi phí để sản xuất đáy là 3USD / m 2 . Hỏi rằng các chiều

của thùng container bằng bao nhiêu để tối thiểu hóa chi phí sản xuất?
Câu 7: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân: x.y 3y

2x 2
y

§Ò Sè 3
Câu 1: [1,25 điểm] Tính đạo hàm của hàm số y 2 x x 1
4x 3

Câu 2: [1,25 điểm] Tìm khoảng tăng giảm và cực trị của hàm số y 4 t 2 4t 8.dt
1



Câu 3: [1,25 điểm] Tính tích phân: I

2x 3 e

2x

2018

dx

0

Câu 4: [1,25 điểm] Viết công thức khai triển Maclaurin của hàm số đến lũy thừa bậc 4 của x
với phần dư dạng peano.
f x ln x 2 3x 2


Câu 5: [1,25 điểm] Cho hàm số w f x, y có tất cả các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục, chứng
minh rằng hàm số

x2 x y
u f sin 2 ,
y y x


thỏa mãn điều kiện x

u
u
y
0.
x
y


Câu 6: [1,25 điểm] Một công ty nhận thấy rằng lợi nhuận P của họ [tính theo triệu USD] được
xác định bởi:
P x, y 5x 2 3y 2 48x 4y 2xy 290

Với x là lượng tiền đầu tư cho quảng cáo [tính theo triệu USD] và y là lượng hàng bán được
[tính theo nghìn sản phẩm]. Tìm giá trị lớn nhất của lợi nhuận P và giá trị của a và n khi lợi
nhuận P lớn nhất.
1

1


Câu 7: [1,25 điểm] Một doanh nghiệp có hàm sản suất Q 30K 2 L3 . Giả sử giá thuê một đơn
vị tư bản là $96, giá thuê một đơn vị lao động là $15 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với
ngân sách cố định là $4800. Xác định lượng tư bản và lao động được sử dụng để doanh nghiệp
thu được sản lượng tối đa. Nếu ngân sách dành cho sản suất tăng thêm 1% thì sản lượng tối đa
thay đổi như thế nào? Tại sao?
Câu 8: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân:

3x

2

2xy y 2 1 dx x 2 2xy 3y 2 3 dy 0

§Ò Sè 4
3
khi x 0
x
Câu 1: [1,25 điểm] Cho hàm số f x
2a 1 x b 2 khi x 0

a] Tìm a, b sao cho hàm số liên tục tại điểm x 0 0 ;
b] Tìm a, b sao cho hàm số khả vi tại điểm x 0 0 .
Câu 2: [1,25 điểm] Biết hàm cầu đảo đối với sản phẩm của một doanh nghiệp độc quyền là
p 600 4Q và hàm chi phí tại mỗi mức sản lượng Q là

1
TC Q3 10Q 2 440Q 20
3
Tính và nêu ý nghĩa của hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá doanh nghiệp tối đa hóa lợi
nhuận.

Câu 3: [1,25 điểm] Lập công thức đạo hàm của hàm lũy thừa f [x] x theo định nghĩa.
Câu 4: [1,25 điểm] Một công ty sản xuất và bán ô tô điện vừa giới thiệu một mẫu ô tô điện
mới, biết rằng hàm cung cận biên của công ty đối với mẫu này có dạng:

MS S p

100p

20 p

2

, 0 p 19

Với S p là lượng xe được đặt hàng khi giá là p [nghìn USD/chiếc]. Tìm hàm cung S p biết
rằng công ty sẽ bán được 2000 chiếc khi giá là 19 [nghìn USD].
Câu 5: [1,25 điểm] Cho hàm số y y x dưới dạng hàm ẩn
hàm cấp 1 của hàm số.
Câu 6: [1,25 điểm] Tìm cực trị của hàm số

x y e
2

2

arctan

y
x


, hãy tính đạo


w 3x 2 3y 2 11z 2 12x 12y 20z 6yz 20

Câu 7: [1,25 điểm] Một nhà máy sản xuất và bán 2 loại bảng viết cho trường học, gồm loại
phổ thông và loại đặc biệt. Biết rằng lợi nhuận hàng tuần được cho bởi
x, y x 2 2y 2 xy 140x 210y 4300

với x là lượng bảng loại cơ bản, y là lượng bảng loại đặc biệt được bán mỗi tuần. Nhà máy có
thể sản xuất và bán được 90 bảng mỗi tuần. Giả sử rằng x và y không âm, hỏi rằng có bao
nhiêu bảng mỗi loại được sản xuất và bán mỗi tuần để lợi nhuận hàng tuần là lớn nhất, lợi
nhuận lớn nhất khi đó là bao nhiêu?
Câu 8: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân arcsin x 1 y dx 3y 2 x y 2 dy 0 .

§Ò Sè 5
Câu 1: [1,25 điểm] Cho hàm số y 3 x.sin 2x , hãy tính y .
Câu 2: [1,25 điểm] Khai triển Taylor hàm số y x 3.tan

x 1

2

x
tại x 1 đến số hạng chứa
4

với phần dư dạng peano.

Câu 3: [1,25 điểm] Cho hàm cung của nhà sản xuất và hàm cầu của người tiêu dùng đối với

1
một loại hàng hóa là p 15 Q d , p 2 3 Qs . Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất PS.
3
Câu 4: [1,25 điểm] Xác định các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số:
y

3

2x 1 . x 2
2

Câu 5: [1,25 điểm] Một nhà máy sản xuất 2 loại kính râm, kính cho nam được bán với giá
$17, còn kính cho nữ được bán với giá $21. Tổng doanh thu [tính theo nghìn USD] có được
khi x [nghìn] kính cho nam và y [nghìn] kính cho nữa là TR x, y 17x 21y . Chi phí để sản
xuất x [nghìn] kính cho nam và y [nghìn] kính cho nữ là
TC x, y 4x 2 4xy 2y 2 11x 25y 3

Tìm lượng kính mỗi loại cần sản xuất và bán để đạt lợi nhuận tối đa.
Câu 6: [2,5 điểm] Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q 10K 0,6 L0,5 [Q là sản lượng, K là tư
bản, L là lao động]. Giá thuê tư bản là $18, giá thuê lao động là $12 và ngân sách dùng cho sản
xuất là $1980.
a] Tính giá trị sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản tại mức sử dụng K 0 50 [đơn vị tư
bản], L 0 60 [đơn vị lao động] và cho biết ý nghĩa của số đó;
b] Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, hãy xác định lượng tư bản và lượng lao động
cần dùng trong sản xuất để đem lại sản lượng tối đa cho doanh nghiệp với ngân sách sản
xuất đã cho.
Câu 7: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân:

x 2 y 4x 2 xy y 2



§Ò Sè 6
sin 3x

Câu 1: [1,25 điểm] Tính giới hạn lim
x 0



tan 5t.dt

0
tan 4x



arcsin 2t.dt

0

Câu 2: [1,25 điểm] Cho hàm ẩn y y x xác định bởi phương trình
x 3 y3 3xy 1 0

Viết khai triển Maclaurin đến bậc hai của hàm số với phần dư dạng Penano.
Câu 3: [1,25 điểm] Một hãng có hàm lợi nhuận cận biên là M x

9000 3000x

x


2

6x 10

2

.

Tìm hàm tổng lợi nhuận của hãng biết rằng hãng đạt lợi nhuận 1500 USD khi bán được 3 sản
phẩm.
2

1

Câu 4: [2,5 điểm] Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q 30K 3 L3 .
a] Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất của doanh nghiệp;
b] Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào của sản
xuất sao cho doanh nghiệp phải bỏ ra chi phí nhỏ nhất khi sản xuất Q0 6000 đơn vị
sản phẩm, cho biết giá thuê tư bản và lao động lần lượt là w K 3; w L 12.
Câu 5: [1,25 điểm] Cho hàm 2 biến
xy x 2 2y

, khi 3x 2 y 2 0
2
2
f x, y 3x y

, khi 3x 2 y 2 0
0


Tính đạo hàm riêng f yx 0,0 .
Câu 6: [1,25 điểm] Tính zxy tại điểm dừng của hàm ẩn z z x, y , z 1 được xác định bởi

phương trình x 2 3y 2 z3 2x 12y 2z 14 0 .
Câu 7: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân

2xy

2

y dx xdy 0.

§Ò Sè 7
Câu 1: [2,5 điểm] Cho hàm số f x 3x 2 1 x 1
a] Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số f x ;
b] Viết khai triển Maclaurin của hàm số f x đến lũy thừa bậc 3 với phần dư dạng Peano.
Câu 2: [1,25 điểm] Tìm đạo hàm riêng theo biến y của hàm số:


x 2 3y3 xy
khi x 2 y 2 0

f x, y x 2 xy y 2

0
khi x y 0


Câu 3: [1,25 điểm] Thời gian [tính theo giờ] để một nhà máy thực hiện kế hoạch sản xuất
được cho bởi

T x, y x 4 16y 4 32xy 40

Với x là lượng nghìn USD được sử dụng cho quản trị chất lượng và y là lượng nghìn USD
được sử dụng cho tư vấn. Tìm lượng tiền sử dụng cho quản trị chất lượng và tư vấn sao cho
thời gian tiêu tốn cho sản xuất là ít nhất, và số giờ ít nhất là bao nhiêu?
Câu 4: [2,5 điểm] Người tiêu dùng lựa chọn một túi hàng gồm 2 loại sản phẩm với hàm lợi ích
tiêu dùng: U 50 x 0,6 y 0,4 , trong đó x là lượng hàng hóa A, y là lượng hàng hóa B.
a] Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích,
biết rằng giá của hàng hóa A là $6, giá hàng hóa B là $8 và thu nhập dành cho tiêu dùng
là $140.
b] Nếu thu nhập dành cho tiêu dùng tăng thêm $1 thì lợi ích tiêu dùng tối đa thay đổi như
thế nào?
Câu 5: [1,25 điểm] Cho hàm cung của nhà sản xuất và hàm cầu của người tiêu dùng đối với
1800
một loại hàng hóa là p
, p 2 Qs 1 .
Qd 1
a] Tìm điểm cân bằng của thị trường;
b] Tính thặng dư của nhà sản xuất PS và thặng dư của người tiêu dùng CS.
Câu 6: [1,25 điểm] Tìm nghiệm của phương trình vi phân y 2x y 2y 4x 3
2

thỏa mãn điều kiện: y 0 1 .

§Ò Sè 8
Câu 1: [1,25 điểm] Như ta đã biết, đạo hàm tại một điểm của một hàm số chính là hệ số góc
của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm đó, nghĩa là f x 0 k, k tan - với là góc
tạo bởi tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 0 với trục hoành Ox. Câu hỏi đặt ra
là có phải hàm số sẽ có đạo hàm tại mọi điểm mà tại đó ta vẽ được tiếp tuyến với đồ thị hàm số
hay không? Nếu có, hãy chứng minh; Nếu không hãy đưa ra một phản ví dụ.

Câu 2: Giả sử hàm cầu đối với sản phẩm của một doanh nghiệp độc quyền và hàm chi phí cận
biên của doanh nghiệp là:
p 100 Q

300000
, MC 6Q 2 326Q 230
Q

a] [0,75 điểm] Lập hàm lợi nhuận của doanh nghiệp biết rằng chi phí cố định của
doanh nghiệp là FC 174000 ; [chi phí cố định là chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra
kể cả không sản xuất một đơn vị sản phẩm nào]


b] [0,5 điểm] Hãy tìm mức sản lượng Q0 và giá p 0 sao cho doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối
đa, khi đó lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp là bao nhiêu?
Câu 3: [1,25 điểm] Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số:
x2
w
.tan 6 xy3 z 2 x
y 2z


Câu 4: [1,25 điểm] Tính tích phân: I

ln 2x

3x 5

2


.dx

1

Câu 5: [1,25 điểm] Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Q 500.K 0,25 .L0,35 .
Hãy tính hệ số co dãn riêng của mức sản lượng Q theo lượng tư bản K tại mức sử dụng các
yếu tố đầu vào K 0 , L0 và nêu ý nghĩa của giá trị hệ số co dãn này.
Câu 6: [1,25 điểm] Lợi nhuận [tính theo nghìn USD] mà một hãng sản xuất thu được từ việc
sản xuất x [tấn] thép và y [tấn] nhôm được cho bởi
P x, y 36xy x 3 8y3

Tìm lượng thép và nhôm sao cho lợi nhuận của hãng là tối đa, tính lợi nhuận tối đa đó?
Câu 7: [1,25 điểm] Mỗi sản phẩm có thể được sản xuất tại máy A hoặc máy B, biết rằng chi
phí để sản xuất x sản phẩm ở máy A và y sản phẩm ở máy B được cho bởi các hàm số:

Chi phí khi sản xuất x sản phẩm ở máy A: C A x 10

x2
;
6

Chi phí khi sản xuất y sản phẩm ở máy B: C B y 200

y3
;
9

Tổng chi phí được cho bởi C x, y C A x C B y . Nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm
ở mỗi máy để tối thiểu hóa tổng chi phí nếu cần sản xuất 10100 sản phẩm?
Câu 8: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân


xy y dx x 2 1 dy 0

§Ò Sè 9
1

Câu 1: [1,25 điểm] Tính giới hạn lim e 2x 1 5x
x

Câu 2: [1,25 điểm] Giả sử hàm doanh thu cận biên và hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp
là:
MR 100 2Q, TC 2Q3 163Q 2 230Q 173000

Hãy tìm mức sản lượng Q0 sao cho doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi đó lợi nhuận tối đa
của doanh nghiệp là bao nhiêu?
Câu 3: [1,25 điểm] Cho f t là hàm khả vi trên thỏa mãn f 1 2,f 1 3 và
x3
w .f 2x 2 y x 3 .sin f xy
y


Hãy tính w x 1,1 .


Câu 4: [1,25 điểm] Tính tích phân I

e

4 3x


.dx

3

Câu 5: [1,25 điểm] Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Q 4500.K 0,25 L0,35 ,
biết rằng doanh nghiệp sử dụng L 0 300 đơn vị lao động, tìm mức sử dụng tư bản K 0 sao cho

sản lượng hiện vật cận biên của tư bản tại K 0 , L0 là MPPK 250 .

Câu 6: [1,25 điểm] Tìm cực trị của hàm số u x 4 4x 2 y 10x 2 5y 2 z 2 16y 2z 41 .
Câu 7: [1,25 điểm] Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm cực trị của hàm
u 3x 2 2y 10 với điều kiện ràng buộc 2x y 15 .

2x 3y dx 3x y dy 0 .

Câu 8: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân

§Ò Sè 10
Câu 1: [1,25 điểm] Khai triển Maclaurin hàm số sau đến x 2 với phần dư Peano:

f x e 4x .cos

x
2

Câu 2: [1,25 điểm] Tìm các điểm cực trị của hàm số sau
ye

0,2x


x

x 13 e0,2t 0,5



t 1,6 .dt

0

Câu 3: [2,5 điểm] Một doanh nghiệp phân phối 1 sản phẩm độc quyền trên 2 thị trường với hai
hàm cầu là:
Q1 1440 20p1 , Q 2 900 10p 2

biết hàm chi phí TC 0,05Q 2 3Q 111, Q Q1 Q 2 .
a] Hãy xác định các mức cầu Q1 ,Q 2 và các mức giá p1 , p2 để doanh nghiệp thu được lợi
nhuận lớn nhất trong trường hợp phân biệt giá ở hai thị trường.
b] Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm các mức cầu để doanh nghiệp thu được lợi
nhuận tối đa trong trường hợp không phân biệt giá ở hai thị trường, tức p1 p 2 .
Câu 4: [1,25 điểm] Cho hàm số f x, y có các đạo hàm riêng và hàm hợp
g x, y f y 2 5x 3 ,10x 3 2y 2

Hãy chứng minh: 2y.gx x, y 15x 2 .gy x, y 0 .
Câu 5: [1,25 điểm] Giả sử tồn tại hàm ẩn y f x xác định tại lân cận của điểm x 4 ,

y 2 cho bởi phương trình 4y3 x 3 2y 10x 12 . Hãy tính đạo hàm cấp hai f 4 .


Câu 6: [1,25 điểm] Một công ty có hàm cầu cận biên của người tiêu dùng đối với sản phẩm
2000p

của mình là D p
. Tìm hàm cầu biết rằng lượng cầu bằng 13000 khi giá mỗi sản
25 p 2
phẩm là 3 USD.
Câu 7: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân y

2y
x 2 ln 4x 3
x


§Ò Sè 11
1

Câu 1: [1,25 điểm] Tính giới hạn lim

1 x x e
x

x 0

Câu 2: [2,5 điểm]
a] Hàm cầu ngắn hạn đối với dầu thô ở Mỹ năm 2008 được xấp xỉ bởi hàm
Q D p 2431129.p 0,06

[Nguồn: 2003 OPEC Review]

với p là giá mỗi thùng dầu thô và Q biểu diễn lượng tiền tiêu dùng dầu thô tương ứng
[lượng cầu thể hiện qua giá trị bằng tiền của lượng tiêu dùng dầu thô]. Tính và nêu ý
nghĩa của hệ số co giãn của cầu khi giá là 40 USD/thùng.

b] Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số sau trên đoạn 2,0 :
f x x 1 .arcsin x 1 x 2 2x


Câu 3: [1,25 điểm] Tích phân suy rộng I

dx
3
1

x x
1

Câu 4: [1,25 điểm] Cho f t là hàm khả vi trên , hãy viết biểu thức vi phân toàn phần của

hàm 2 biến w x, y f 3x 2 2y .e

.

f xy 2

Câu 5: [1,25 điểm] Tìm cực trị của hàm số trên miền x 0, y 0, z 0
u x 3 y3 z 3 3xy 3xz 3yz 1

Câu 6: [1,25 điểm] Giả sử một doanh nghiệp hoạt động trong thị trường cạnh tranh có hàm sản
xuất là Q 120.K 0,4 .L0,6 . Doanh nghiệp nhận được hợp đồng 12000 sản phẩm, chỉ còn một
tháng nữa là đến hẹn giao hàng. Cho biết giá bán của mỗi sản phẩm là p 0 , giá thuê tư bản và
lao động [trong một tháng] lần lượt là: w K 8, w L 12 . Bạn hãy lập kế hoạch sử dụng các yếu
tố đầu vào sao cho doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.
Câu 7: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân cấp một 8x 2 3y.cos x .dx 3sin x.dy 0


§Ò Sè 12
Câu 1: [1,25 điểm] Tính giới hạn lim 3x sin 2x

2x

x 0

Câu 2: [1,25 điểm] Viết khai triển Maclaurin hàm số f x e 2x .sin

phần dư dạng Peano.


Câu 3: [1,25 điểm] Tính tích phân


0

arc cot



1 2x

dx .

1 2x 4 4x

x
đến lũy thừa x 2 với

4


Câu 4: [1,25 điểm] Cho hàm số f x 9x acr tan sin 2x cos 2x . Tìm miền giá trị của

hàm số và chứng minh hàm số có hàm số ngược f 1 x xác định mọi x .
2
3

1
3

Câu 5: [1,25 điểm] Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q 30K L Sử dụng phương
pháp nhân tử Lagrange, tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất sao cho doanh
nghiệp phải bỏ ra chi phí nhỏ nhất khi sản xuất Q0 = 6000 đơn vị sản phẩm, cho biết giá thuê
tư bản và lao động lần lượt là w K 3; w L 12.
Câu 6: [1,25 điểm] Một doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là
Q 40 p. Biết rằng hàm sản xuất ngắn hạn của doanh nghiệp là Q 9L và giá thuê một đơn
vị lao động là $9. Tìm mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa?
Câu 7: [1,25 điểm] Một hãng máy tính sản xuất 2 mẫu máy tính cầm tay, cầu đối với 2 mẫu
máy tính cầm tay này được cho bởi
Q1 78 6p1 3p 2 ; Q 2 66 3p1 6p 2

Với p1 , p 2 lần lượt là giá của các mẫu máy tính [tính theo đơn vị chục USD], và Q1 ,Q 2 là
lượng máy tính [tính theo đơn vị trăm chiếc]. Hãy lập hàm tổng doanh thu TR của hãng theo
các biến p1 , p 2 và tìm mức giá bán p1 , p2 sao cho doanh thu của hãng máy tính là tối đa, khi đó
doanh thu tối đa là bao nhiêu?
Câu 8: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân e3y 4 x 2 .dx y.dy 0

§Ò Sè 13

Câu 1: [1,25 điểm] Tính giới hạn lim 1 x sin x

cot 2 2x

x 0

2

Câu 2: [1,25 điểm] Cho hàm số y x 1 .e x , chứng minh rằng hàm số này liên tục tại điểm
x 1 nhưng không khả vi tại điểm đó.
Câu 3: [1,25 điểm] Cho f u là hàm một biến khả vi, hãy viết biểu thức vi phân toàn phần

cấp 1 của hàm w xy.ln 2 f x 2 y x .



Câu 4: [1,25 điểm] Tính tích phân suy rộng I

dx
4x 2 4x 2


Câu 5: [1,25 điểm] Một công ty đang phát triển loại thức uống mới, chi phí [tính theo USD] để
sản xuất một lô thức uống được cho bởi
TC x, y 2200 27x 3 72xy 8y 2

Với x là số kilogram đường mỗi lô và y là số gram hương liệu mỗi lô. Tìm lượng đường và
hương liệu sao cho chi phí sản xuất mỗi lô là tối thiểu, chi phí tối thiểu đó là bao nhiêu?
Câu 6: [2,5 điểm] Một doanh nghiệp hoạt động trong thị trường cạnh tranh có hàm sản xuất là
Q 200.K 0,2 .L0,5 . Biết rằng giá thuê một đơn vị tư bản, giá thuê một đơn vị lao động và giá

bán của sản phẩm tương ứng là w K 5, w L 2, p 7 .
a] Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất của doanh nghiệp;


b] Tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp tối đa
biết rằng kế hoạch sản xuất của doanh nghiệp là sản xuất 10000 sản phẩm;
Câu 7: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân e 2x y dx

y
dy 0 .
x

§Ò Sè 14

Tại hội thao chào mừng tân sinh viên năm 1 của NEU, nội dung chính của hội thao là cuộc đua
về thể lực kết hợp với trí tuệ nhằm cổ vũ cho phong trào rèn luyện thể thao và nâng cao khả
năng ứng dụng các môn Toán vào thực tế cho sinh viên, trong câu 1 và câu 2 của bài thi này
bạn hãy tham gia cuộc đua bằng cách giải các bài toán thực tế được đặt ra trong hội thao.
Câu 1: [2,5 điểm] LÊN KẾ HOẠCH TRƯỚC CUỘC ĐUA

Ban tổ chức công bố trước sơ đồ của đường đua với
điểm xuất phát là A và đích đến là địa điểm D [Xem
hình ở bên]. Trong đó, giai đoạn đầu các vận động viên
phải chạy bộ từ A, vượt qua rừng tới B bên bờ sông,
sau đó bơi từ B vượt sông sang điểm C bên kia bờ sông,
rồi từ C đi theo đường bộ bằng xe đạp tới D.

10 km
x
A


y
B

Đường
C
Sông

D

Rừng

Biết rằng khoảng cách từ A tới bờ sông là 3 km, sông rộng 0,8 km với 2 bờ là 2 đường thẳng
song song. Biết rằng vận tốc chạy bộ của một vận động viên trong rừng là 10km/h, vận tốc bơi
trên sông là 8km/h, vận tốc đạp xe trên đường là 35 km/h.
a] Thiết lập thời gian T T x, y để vận động viên đi từ A tới D theo x, y, với x, y là các
giá trị được gợi ý như trong hình trên;
b] Tìm x, y [vị trí điểm B, C] để thời gian hoàn thành cuộc đua là ít nhất.
Câu 2: [1,25 điểm] TÌM NÚT BẤM TRONG PHÒNG

Khi vận động viên tới được địa điểm đích D thì họ phải vào một căn phòng bị bao bởi bức
tường có hình dạng đường tròn với phương trình x 2 y 2 30 , biết rằng nhiệt độ trong phòng
có dạng T[x, y] x 2 y 2 3xy 15x 15y 60 . Để kết thúc cuộc đua thì vận động viên phải
bấm vào một cái nút để xác nhận ĐÃ VỀ ĐÍCH, cái nút này tuy không thể nhìn thấy bằng
mắt thường nhưng lại biết nó ở chân tường và ở nơi có nhiệt độ thấp nhất. Bạn hãy xác định
tọa độ của nút ấn để giúp vận động viên kết thúc cuộc đua.
Câu 3: [1,25 điểm] GDP của Mỹ [tính theo tỷ USD] được cho bởi
P x 567 x 36x 0,6 104

[Nguồn: U.S. Bureau for Economic Analysis]


với x là số năm từ năm 1960 [ví dụ - đến năm 1965 thì tương ứng với x 5 ]. Sử dụng P x
để ước tính lượng GDP của Mỹ tăng từ năm 2009 tới năm 2010.
Câu 4: [1,25 điểm] Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y x 2 3x 2 .e12x
Câu 5: [1,25 điểm] Cho f t là hảm khả vi trên với f 9 3 , tính dw 2,3 với các số

gia riêng là x 0,1; y 0, 2 và w f 3x 2 xy y3 .




Câu 6: [1,25 điểm] Tính tích phân suy rộng I

x

2

1

dx
.
4x

Câu 7: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân 4x 3 y dx xdy 0 .

§Ò Sè 15
Câu 1: [1,25 điểm] Tính giới hạn

lim e 2x 1 x


2x

x 0

Câu 2: [1,25 điểm] Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y x 1 e x

2

3x 1

Câu 3: [1,25 điểm] Hãy tính w x 0,0 , w y 0,0 với:
x 2 3xy 2y3
khi x 2 y 2 0

2
2
w x 5y

0
khi x y 0


Câu 4: [1,25 điểm] Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Q 500K 0,3L0,5 .
a] Hãy tính giá trị sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản MPPK tại mức sử dụng các yếu
tố đầu vào của sản xuất là K 350, L 270 [đơn vị] và cho biết ý nghĩa của số này;
b] Hãy tính hệ số co giãn QL của mức sản lượng Q theo mức sử dụng lao động L tại mức
sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất là K 350, L 270 [đơn vị] và cho biết ý
nghĩa của số này.



Câu 5: [1,25 điểm] Tính tích phân:

I


0

e 2x dx
e 2x 3e 2x

Câu 6: [1,25 điểm] Tìm cực trị của hàm số z 8x 3 y3 12x 2 16xy 6x 8y 6 .
Câu 7: [1,25 điểm] Cho biết hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q 50K 0,3L0,4 . Tìm mức
sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất sao cho doanh nghiệp tốn ít chi phí nhất để sản xuất
Q0 7000 [sản phẩm], biết rằng giá thuê mỗi đơn vị tư bản là w K 6 , giá thuê mỗi đơn vị lao
động là w L 4 ;
Câu 8: [1,25 điểm] Giải phương trình vi phân

dy
2y tan 2x e3x cos 2x .
dx