Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+2i \right|=1$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là
- $\left[ 0;2 \right]$. B. $\left[ -2;0 \right]$. C. $\left[ 0;-2 \right]$. D. $\left[ 2;0 \right]$.
Lời giải:
Đặt $z=x+yi$, với $x,y\in \mathbb{R}$.
Từ giả thiết $\left| z+2i \right|=1\Rightarrow {{x}{2}}+{{\left[ y+2 \right]}{2}}=1$.
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left[ 0;-2 \right]$, bán kính $R=1$.
Câu 2. Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả mãn $\left| z-2+5i \right|=4$ một đường tròn tâm $I$, bán kính $R.$ Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ là
- $I[2;-5],$ $R=2.$ B. $I[-2;5],$ $R=4.$ C. $I[2;-5],$ $R=4.$ D. $I[0;0],$ $R=2.$
Lời giải:
Gọi $M[x;y]$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi{ }[x,{ }y\in \mathbb{R}]$.
Ta có $\left| z-2+5i \right|=4$$\Leftrightarrow {{\left[ x-2 \right]}{2}}+{{\left[ y+5 \right]}{2}}=16$
Đây là đường tròn tâm $I\left[ 2;-5 \right];R=4$.
Câu 3. Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \bar{z}-3+2i \right|=5$ là một đường tròn có tâm $I$ và bán kính $R.$ Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ là
- $I[-3;-2],R=5.$ B. $I[3;-2],R=5.$ C. $I[3;2],R=5.$ D. $I[-3;2],R=5.$
Lời giải:
Gọi $M[x;y]$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi{ }[x,{ }y\in \mathbb{R}]$.
Ta có $\left| \bar{z}-3+2i \right|=5$$\Leftrightarrow \left| x-yi-3+2i \right|=5$$\Leftrightarrow {{\left[ x-3 \right]}{2}}+{{\left[ y-2 \right]}{2}}=25$
Đây là đường tròn tâm $I\left[ 3;2 \right];R=5$.
Câu 4. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}+1+2i \right|=2$ là
- đường tròn tâm $I\left[ 1;2 \right]$, bán kính $R=2$. B. đường tròn tâm $I\left[ -1;-2 \right]$, bán kính $R=2$. C. đường tròn tâm $I\left[ -1;2 \right]$, bán kính $R=2$. D. đường tròn tâm $I\left[ 1;-2 \right]$, bán kính $R=2$.
Lời giải:
Đặt $z=x+yi;\left[ x,y\in R \right]$
Khi đó: $\left| \overline{z}+1+2i \right|=2\Leftrightarrow \left| \left[ x+1 \right]+\left[ -y+2 \right]i \right|=2$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left[ x+1 \right]}{2}}+{{\left[ -y+2 \right]}{2}}}=2$
$\Leftrightarrow {{\left[ x+1 \right]}{2}}+{{\left[ y-2 \right]}{2}}=4$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $I\left[ -1;2 \right]$, bán kính $R=2$.
Câu 5. Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z \right|=5$. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn của số phức $w=\bar{z}+i$ là một đường tròn. Tọa độ tâm $I$ của đường tròn đó là
- $I\left[ 0;\,1 \right]$. B. $I\left[ 0;\,-1 \right]$. C. $I\left[ -1;\,0 \right]$. D. $I\left[ 1;\,0 \right]$.
Lời giải:
Ta có $\left| {\bar{z}} \right|=\left| z \right|=5$.
Từ $w=\bar{z}+i\Rightarrow w-i=\bar{z}\Rightarrow \left| w-i \right|=\left| {\bar{z}} \right|\Rightarrow \left| w-i \right|=5$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức $w$ là đường tròn tâm $I\left[ 0;\,1 \right]$.
Câu 6. Cho số phức $z$ thỏa $\left| z-1+2i \right|=3$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w=2z+i$ trên mặt phẳng $\left[ Oxy \right]$ là một đường tròn. Tọa độ tâm của đường tròn đó là
- $I\left[ 2;-3 \right]$. B. $I\left[ 1;1 \right]$. C. $I\left[ 0;1 \right]$. D. $I\left[ 1;0 \right]$.
Lời giải:
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $w$.
Ta có $w=2z+i\Leftrightarrow z=\frac{w-i}{2}$.
Do đó $\left| z-1+2i \right|=3$ $\Leftrightarrow \left| \frac{w-i}{2}-1+2i \right|=3$ $\Leftrightarrow \left| w-2+3i \right|=6$ $\Leftrightarrow MI=6$, với $I\left[ 2;-3 \right]$.
Do đó tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I\left[ 2;-3 \right]$ và bán kính $R=6$.
Câu 7. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-i \right|=\left| \left[ 1+i \right]z \right|$ là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là
- $I\left[ 1;1 \right]$. B. $I\left[ 0\,;\,-1 \right]$. C. $I\left[ 0;1 \right]$. D. $I\left[ -1;0 \right]$.
Lời giải:
Đặt $z=x+yi\,\,\left[ x,y\in \mathbb{R} \right]$.
Ta có $\left| z-i \right|=\left| \left[ 1+i \right]z \right|$.
$\Leftrightarrow \left| x+\left[ y-1 \right]i \right|=\left| \left[ 1+i \right]\left[ x+yi \right] \right|$$\Leftrightarrow \left| x+\left[ y-1 \right]i \right|=\left| \left[ x-y \right]+\left[ x+y \right]i \right|$
$\Leftrightarrow {{x}{2}}+{{\left[ y-1 \right]}{2}}={{\left[ x-y \right]}{2}}+{{\left[ x+y \right]}{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}{2}}+{{y}{2}}+2y-1=0$ $\Leftrightarrow {{x}{2}}+{{\left[ y+1 \right]}{2}}=2$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có tâm $\left[ 0\,;\,-1 \right]$.
Câu 8. Trong mặt phẳng tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1-2i \right|=3$ là
- đường tròn tâm $I[1;2]$, bán kính $R=9$. B. đường tròn tâm $I[1;2]$, bán kính $R=3$.
- đường tròn tâm $I[-1;-2]$, bán kính $R=3$. D. đường thẳng có phương trình $x+2y-3=0$.
Lời giải:
Giả sử điểm $M[x;y]$ là điểm biểu diễn số phức $z$. Ta có:
$\left| z-1-2i \right|=3\Leftrightarrow \left| [x-1]+[y-2]i \right|=3\Leftrightarrow {{[x-1]}{2}}+{{[y-2]}{2}}=9$
Vậy điểm $M[x;y]$ thuộc đường tròn ${{[x-1]}{2}}+{{[y-2]}{2}}=9$ có tâm $I[1;2]$, bán kính $R=3$.
Câu 9. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1+i \right|=\left| z+2 \right|$. Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức $z$ là
- đường thẳng $3x+y+1=0$. B. đường thẳng $3x-y+1=0$.
- đường thẳng $3x+y-1=0$. D. đường thẳng $3x-y-1=0$.
Lời giải:
Giả sử số phức $z$ có dạng: $z=x+yi\,\,\,\,\,\,\left[ x,y\in \mathbb{R} \right]$
Ta có: $\left| z-1+i \right|=\left| z+2 \right|\Leftrightarrow \left| x+yi-1+i \right|=\left| x+yi+2 \right|\Leftrightarrow \left| \left[ x-1 \right]+\left[ y+1 \right]i \right|=\left| \left[ x+2 \right]+yi \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left[ x-1 \right]}{2}}+{{\left[ y+1 \right]}{2}}}=\sqrt{{{\left[ x+2 \right]}{2}}+{{y}{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left[ x-1 \right]}{2}}+{{\left[ y+1 \right]}{2}}={{\left[ x+2 \right]}{2}}+{{y}{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}{2}}-2x+1+{{y}{2}}+2y+1={{x}{2}}+4x+4+{{y}{2}}$
$\Leftrightarrow 6x-2y+2=0\Leftrightarrow 3x-y+1=0$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $3x-y+1=0$.
Câu 10. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $\left| z-2i \right|=3$ là đường tròn tâm $I.$ Tất cả giá trị $m$ thỏa mãn khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :3x+4y-m=0$ bằng $\frac{1}{5}$ là:
- $m=-7;m=9$. B. $m=-8;m=8$. C. $m=7;m=9$. D. $m=8;m=9$.
Lời giải:
$\left| z-2i \right|=3\Leftrightarrow \left| x+\left[ y-2 \right]i \right|=3\Leftrightarrow \sqrt{{{x}{2}}+{{\left[ y-2 \right]}{2}}}=3\Leftrightarrow {{x}{2}}+{{\left[ y-2 \right]}{2}}=9\Rightarrow I\left[ 0;2 \right]$
$d\left[ I,\Delta \right]=\frac{\left| 3.0+4.2-m \right|}{\sqrt{{{3}{2}}+{{4}{2}}}}=\frac{1}{5}\left| 8-m \right|$
$d\left[ I,\Delta \right]=\frac{1}{5}\Leftrightarrow \frac{1}{5}\left| 8-m \right|=\frac{1}{5}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 8-m=1 \\ & 8-m=-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=7 \\ & m=9 \\ \end{align} \right.$
Câu 11. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-i \right|=1$ là
- đường tròn tâm $A\left[ 0;1 \right],$ bán kính $R=1$. B. đường tròn tâm $I\left[ 0;1 \right],$ bán kính $R=2$. C. đường thẳng $y=1$. D. đường thẳng $x=1$.
Lời giải:
Giả sử: $z=x+yi,z-i=x+\left[ y-1 \right]i$ nên $\left| z-i \right|=\sqrt{{{x}{2}}+{{\left[ y-1 \right]}{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}{2}}+{{\left[ y-1 \right]}{2}}=1\,\,\,\left[ 1 \right]$
Như vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z=x+yi$ thỏa mãn $\left| z-i \right|=1$ nằm trên đường tròn tâm $A\left[ 0;1 \right],$ bán kính $R=1$.
Câu 12. Cho số phức $z=x+yi\left[ x,y\in \mathbb{R} \right]$ thỏa mãn $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\le 5$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}{2}}+{{y}{2}}+8x+6y$. Giá trị của $m+M$ bằng
- $44-20\sqrt{10}$. B. $\frac{9}{5}$. C. $60-20\sqrt{10}$. D. $52-20\sqrt{10}$.
Lời giải:
Gọi $N\left[ x;y \right]$ là điểm biểu diễn cho số phức $z=x+yi$.
Ta có $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\Leftrightarrow 2x+y+2\le 0$;
$\left| z-2+i \right|\le 5$ $\Leftrightarrow {{\left[ x-2 \right]}{2}}+{{\left[ y+1 \right]}{2}}\le 25$ [hình tròn tâm $I\left[ 2;-1 \right]$ bán kính $r=5$];
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\le 5$ thuộc miền $\left[ T \right]$ [xem hình vẽ với $A\left[ -2;2 \right],B\left[ 2;-6 \right]$ ].
Ta có $P+25={{\left[ x+4 \right]}{2}}+{{\left[ y+3 \right]}{2}}$ $\Rightarrow \sqrt{P+25}=\sqrt{{{\left[ x+4 \right]}{2}}+{{\left[ y+3 \right]}{2}}}=NJ$ [với $J\left[ -4;-3 \right]$].
Bài toán trở thành tìm điểm $N$ thuộc miền $\left[ T \right]$ sao cho $NJ$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ta có $IJ-r\le NJ\le JB\Leftrightarrow 2\sqrt{10}-5\le \sqrt{P+25}\le 3\sqrt{5}\Leftrightarrow 40-20\sqrt{10}\le P\le 20$
$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $N$ là giao điểm của đường thẳng $JI$ với đường tròn tâm $I\left[ 2;-1 \right]$ bán kính $r=5$ và $NJ=2\sqrt{10}-5$.
$P$ đạt giá trị lớn nhất khi $N\equiv B$.
Vậy $m+M=60-20\sqrt{10}$.
Câu 13. Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-2i|+|z+5-2i|=5$. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=|z-1-3i|+|z-2-i|$ tương ứng là $a$ và $b$. Giá trị của $T=a+b$ bằng
- $\sqrt{37}+2\sqrt{5}$. B. $\sqrt{37}+\sqrt{5}+6\sqrt{2}$. C. $\sqrt{37}+2\sqrt{10}$. D. $2\sqrt{13}+4\sqrt{5}$.
Lời giải:
Ta gọi điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ và điểm $A[0;2],B[-5;2]\Rightarrow AB=5$.
Suy ra $|z-2i|+|z+5-2i|=5\Leftrightarrow MA+MB=AB$. Do đó $M$ nằm trên đoạn thẳng $AB$.
Gọi điểm $C[1;3],D[2;1]$. Suy ra, biểu thức $T=|z-1-3i|+|z-2-i|=MC+MD$, với $M$ nằm trên đoạn $AB$.
Ta có $M$ trùng với $A$ thì giá trị của biểu thức $T$ đạt nhỏ nhất.
Suy ra ${{T}_{\min }}=AC+AD=\sqrt{2}+\sqrt{5}=b$ khi $M\equiv A$.
Giá trị của biểu thức $T$ lớn nhất khi điểm $M$ trùng với điểm $B$.
Suy ra ${{T}_{\max }}=BC+BD=\sqrt{37}+5\sqrt{2}=a$ khi $M\equiv B$.
Vậy $[a+b]=\sqrt{37}+\sqrt{5}+6\sqrt{2}$.
Câu 14. Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}{2}}-2\left[ 2m-1 \right]z+{{m}{2}}=0$ [$m$ là số thực]. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{\left| {{z}_{1}} \right|}{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}{2}}=2?$
- 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải:
Ta có: ${\Delta }'={{[2m-1]}{2}}-{{m}{2}}=3{{m}^{2}}-4m+1$
TH1: ${\Delta }'