Bài tập tính đạo hàm theo hướng

Bài tập đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây  (223.9 KB, 12 trang )

Đạo hàm riêng 1
Mục lục
1 Đạo hàm riêng 1
2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến 5
3 Gradient và đạo hàm theo hướng 6
1 Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng theo biến x, xem y là tham số, cho y = y
0
, thay vào f(x, y)
thu được g(x), tính g

.
Đạo hàm riêng theo biến y, tương tự xem x là tham số.
Thực hiện tương tự với hàm n  3 biến.
Định lí cơ bản của phép tính tích phân:
Cho F (x) =
ψ(x)

ϕ(x)
f(t)dt, với f(t) là hàm số liên tục.
Khi đó:
F

(x) =
d
dx
ψ(x)

ϕ(x)
f(t)dt = ψ

(x)f(ψ(x))  ϕ

(x)f(ϕ(x))
1. Tính
f
x
và
f
y
của các hàm số được cho sau:
(a) f(x, y) = 2x
2
3y 4
(b) f(x, y) = x
2
xy + y
2
(c) f(x, y) = (x
2
1)(y + 2)
(d) f(x, y) = 5xy 7x
2
y
2
+ 3x  6y + 2
(e) f(x, y) = (xy 1)
2
(f) f(x, y) = (2x  3y)
3
(g) f(x, y) =


x
2
+ y
2
(h) f(x, y) =

x
3
+
y
2

2
3
(i) f(x, y) =
1
x + y
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
2 Đạo hàm riêng
(j) f(x, y) =
x
x
2
+ y
2
(k) f(x, y) =
x + y
xy 1
(l) f(x, y) = arctan

y
x
(m) f(x, y) = e
x+y+1
(n) f(x, y) = e
x
sin(x + y)
(o) f(x, y) = ln(x + y)
(p) f(x, y) = e
ey
ln y
(q) f(x, y) = sin
2
(x  3y)
(r) f(x, y) = cos
2
(3x  y
2
)
(s) f(x, y) = x
y
(t) f(x, y) = log
y
x
(u) f(x, y) =
y

x
g(t)dt, với g(t) là hàm số liên tục.
(v) f(x, y) =



n=0
(xy)
n
, |xy| < 1
Đáp án:
(a)
f
x
= 4x;
f
y
= 3
(b)
f
x
= 2x  y;
f
y
= 2y x
(c)
f
x
= 2x(y + 2);
f
y
= x
2
1

(d)
f
x
= 5y 14x + 3;
f
y
= 5x  2y 6
(e)
f
x
= 2y(xy 1);
f
y
= 2x(xy 1)
(f)
f
x
= 6(2x  3y)
2
;
f
y
= 9(2x  3y)
2
(g)
f
x
=
x


x
2
+ y
2
;
f
y
=
y

x
2
+ y
2
(h)
f
x
= 2x
2

x
3
+
y
2

1/3
;
f
y

=
1
3

x
3
+
y
2

1/3
(i)
f
x
=
f
y
=
1
(x + y)
2
;
(j)
f
x
=
y
2
x
2

(x
2
+ y
2
)
2
;
f
y
=
2xy
(x
2
+ y
2
)
2
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến
Đạo hàm riêng 3
(k)
f
x
=
1 + y
2
(xy 1)
2
;
f
y

=
1 + x
2
(xy 1)
2
(l)
f
x
=
y
x
2
+ y
2
;
f
y
=
x
x
2
+ y
2
(m)
f
x
=
f
y
= e

x+y+1
(n)
f
x
= e
x
sin(x + y) + e
x
cos(x + y);
f
y
= e
x
cos(x + y)
(o)
f
x
=
f
y
=
1
x + y
(p)
f
x
= 0;
f
y
= e

ey+1
ln y +
e
ey
y
(q)
f
x
= sin 2(x  3y);
f
y
= 3 sin 2(x  3y)
(r)
f
x
= 3 sin 2(3x  y
2
);
f
y
= 2y sin 2(3x  y
2
)
(s)
f
x
= yx
y1
;
f

y
= x
y
ln x
(t)
f
x
=
1
x ln y
;
f
y
=
1
y ln x log
2
x
y
(u)
f
x
= g(x);
f
y
= g(y)
(v)
f
x
=



1
nx
n1
y
n
;
f
y
=


1
ny
n1
x
n
2. Tính f

x
, f

y
, f

z
của các hàm số sau:
(a) f(x, y, z) = 1 + xy
2

2z
2
(b) f(x, y, z) = xy + yz + xz
(c) f(x, y, z) = x

y
2
+ z
2
(d) f(x, y, z) = (x
2
+ y
2
+ z
2
)
1/2
(e) f(x, y, z) = arcsin(xyz)
(f) f(x, y, z) = ln(x + 2y + 3z)
(g) f(x, y, z) = yz ln(xy)
(h) f(x, y, z) = e
(x
2
+y
2
+z
2
)
(i) f(x, y, z) = e
xyz

Đáp án:
(a) f

x
= y
2
; f

y
= 2xy; f

z
= 4z
(b) f

x
= y + z; f

y
= x + z; f

z
= x + y
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
4 Đạo hàm riêng
(c) f

x
= 1; f


y
=
y

y
2
+ z
2
; f

z
=
z

y
2
+ z
2
(d) f

x
=
x

(x
2
+ y
2
+ z
2

)
3
; f

y
=
y

(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
; f

z
=
z

(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3

(e) f

x
=
yz

1  (xyz)
2
; f

y
=
xz

1  (xyz)
2
; f

z
=
xy

1  (xyz)
2
(f) f

x
=
1
z + 2y + 3z

; f

y
=
2
z + 2y + 3z
; f

z
=
3
z + 2y + 3z
(g) f

x
=
yz
x
; f

y
= z(ln(xy) + 1); f

z
= y ln(xy)
(h) f

x
= 2xe
(x

2
+y
2
+z
2
)
; f

y
= 2ye
(x
2
+y
2
+z
2
)
; f

z
= 2ze
(x
2
+y
2
+z
2
)
(i) f


x
= yze
xyz
; f

y
= xze
xyz
; f

z
= xye
xyz
3. Tính đạo hàm riêng của hàm số với biến tương ứng của hàm số đó:
(a) f(t, α) = cos(2πt  α)
(b) g(u, v) = v
2
e
2u
v
(c) h(ρ, φ, θ) = ρ sin φ cos θ
(d) g(r, θ, z) = r(1  cos θ)  z
(e) W (P, V, δ, v, g) = P V +
V δv
2
2g
(f) A(c, h, k, m, q) =
km
q
+ cm +

hq
2
Đáp án:
(a) f

t
= 2π sin(2πt  α); f

α
= sin(2πt  α)
(b) g

u
= 2ve
2u/v
; g

v
= 2ve
2u/v
2ue
2u/v
(c) h

ρ
= sin φ cos θ; h

φ
= ρ cos φ cos θ; h


θ
= ρ sin φ sin θ
(d) g

r
= 1  cos θ; g

θ
= r sin θ; ; g

z
= 1
(e) W

P
= V ; W

V
= P +
δv
2
2g
; W

δ
=
V v
2
2g
W


v
=
V δv
g
; W

g
=
V δv
2
2g
2
;
(f) A

c
= m; A

h
=
q
2
; A

k
=
m
q
; A


m
=
k
q
+ c; A

q
=
km
q
2
+
h
2
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến
Đạo hàm riêng 5
2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến
Vector n = (f

x
, f

y
, 1) = (a, b, 1) là vector pháp tuyến của tiếp diện tại
P (x
0
, y
0
, z

0
= f(x
0
, y
0
))
Phương trình tiếp diện
a(x  x
0
) + b(y y
0
)  (z z
0
) = 0
Phương trình đường thẳng pháp tuyến của (S) tại P
x  x
0
a
=
y y
0
b
=
z z
0
1
hay










x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ (1)t
1. Mặt phẳng x = 1 cắt paraboloid z = x
2
+ y
2
theo giao tuyến là một parabola. Hãy tìm
độ dốc của tiếp tuyến của parabola đó tại điểm M(1, 2, 5)
2. Cho hàm số z = f(x, y) = 2x + 3y  4. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của
mặt cong trên tại (2, 1).
3. Cho hàm số z = f(x, y) = x
2
+ y
3
. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt
cong đó tại (1, 1).
Đáp án:

1. Tiếp tuyến của parabola thuộc mặt phẳng x = 1 do đó độ dốc của tiếp tuyến tại (1, 2, 5)
là:
z

x
(1, 2, 5) = (x
2
+ y
2
)

x



(x,y,z)=(1,2,5)
= 2x



x=1
= 2.1 = 2
2. z

x
= 2, z

y
= 3  pháp véctơ (2, 3, 1).
Phương trình tiếp diện tại (2, 1, f(2, 1)) = (2, 1, 3).

2(x  2) + 3(y + 1)  (x + 3) = 0
hay
2x + 3y z  4 = 0
Pháp tuyến của mp tại điểm trên:
x  2
2
=
y + 1
3
=
z + 3
1
.
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
6 Gradient và đạo hàm theo hướng
3. z

x
= 2x, z

y
= 3y
2
z

x
(1, 1) = 2, z

y
(1, 1) = 3.

Phương trình tiếp diện: 2x  3y + z + 3 = 0
Phương trình pháp tuyến:
x + 1
2
=
y 1
3
=
z 2
1
3 Gradient và đạo hàm theo hướng
Gradient của hàm số f(x, y) tại điểm P (x, y) là vector:
f(P ) = f(x, y) = gradf(x, y) = f

x
(x, y).

i + f

y
(x, y).

j = (f

x
, f

y
)
Với u(u

1
, u
2
) là vector đơn vị (tức

u
2
1
+ u
2
2
= 1), ta có đạo hàm theo hướng
của u:
D
u
f(x
0
, y
0
) = f

x
(x
0
, y
0
).u
1
+ f


y
(x
0
, y
0
).u
2
= u.f(x
0
, y
0
)
Hàm số f(x, y) tăng (giảm) nhanh nhất theo hướng của vector f(x
0
, y
0
)
(f(x
0
, y
0
)).
Bất kì vector nào vuông góc với f(x
0
, y
0
) = 0 thì đạo hàm theo hướng của
vector đó đều bằng 0.
1. Tìm Gradient của hàm số tại điểm được cho:
(a) f(x, y) = y x (2, 1)

(b) f(x, y) = ln(x
2
+ y
2
) (1, 1)
(c) f(x, y) = xy
2
(2, 1)
(d) f(x, y) =
x
2
2

y
2
2
(

2, 1)
(e) f(x, y) =

2x + 3y (1, 2)
(f) f(x, y) = arctan

x
y
(4, 2)
(g) f(x, y, z) = x
2
+ y

2
2z
2
+ z ln x (1, 1, 1)
(h) f(x, y, z) = 2z
3
3(x
2
+ y
2
)z + arctan(xz) (1, 1, 1)
(i) f(x, y, z) = (x
2
+ y
2
+ z
2
)
1/2
+ ln(xyz) (1, 2, 2)
(j) f(x, y, z) = e
x+y
cos z + (y + 1) arcsin x (0, 0,
π
6
)
Đáp án:
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến
Gradient và đạo hàm theo hướng 7
(a) f (x, y) =


i +

j
f (2, 1) =

i +

j = (1, 1)
(b) f (x, y) =
2x
x
2
+ y
2

i +
2y
x
2
+ y
2

j
f (1, 1) =

i +

j = (1, 1)
(c) f (x, y) =


y
2
, 2xy

f (2, 1) = (1, 4)
(d) f (x, y) = (x, y)  f


2, 1

=


2, 1

(e) f (x, y) =

1

2x + 3y
,
3
2

2x + 3y

f (1, 2) =

1

2
,
3
4

(f) f (x, y) =

y
2

x (x + y
2
)
,


x
x + y
2

f (4, 2) =
1
8

1
2
, 2

(g) f (x, y, z) =


2x +
z
x
, 2y, 4z + ln x

f (1, 1, 1) = (3, 2, 4)
(h) f (x, y, z) =

6xz +
z
1 + (xz)
2
, 6yz, 6z
2
3

x
2
+ y
2

+
x
1 + (xz)
2

f (1, 1, 1) =


11

2
, 6,
1
2

(i) f (x, y, z) =

x
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3/2
+
1
x
,
y
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3/2
+

1
y
,
z
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3/2
+
1
z

f (1, 2, 2) =

26
27
,
23
54
,
23
54

(j) f (x, y, z) =

e

x+y
cos z +
y + 1

1  x
2
, e
x+y
cos z + arcsin x, e
x+y
sin z

f

0, 0,
π
6

=


3
2
+ 1,

3
2
,
1
2


2. Tìm đạo hàm của hàm số tại P
0
theo hướng được cho:
(a) f(x, y) = 2xy 3y
2
, P
0
(5, 5), u = 4

i + 3

j
(b) f(x, y) = 2x
2
+ y
2
, P
0
(1, 1), u = 3

i  4

j
(c) f(x, y) =
x  y
xy + 2
, P
0
(1, 1), u = 12


i + 5

j
(d) f(x, y) = arctan
y
x
+

3 arcsin
xy
2
, P
0
(1, 1), u = 3

i  2

j
(e) f(x, y, z) = xy + z + zx, P
0
(1, 1, 2), u = 3

i + 6

j  2

k
(f) f(x, y, z) = x
2

+ 2y
2
2z
2
, P
0
(1, 1, 1), u =

i +

j +

k
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
8 Gradient và đạo hàm theo hướng
(g) f(x, y, z) = 3e
x
cos(yz), P
0
(0, 0, 0), u = 2

i +

j  2

k
(h) f(x, y, z) = cos(xy) + e
yz
+ ln(xz), P
0

(1, 0,
1
2
), u =

i + 2

j + 2

k
Đáp án:
(a)  Chuẩn hóa u thành vector đơn vị
v =
u
|u|
=
(4, 3)
5
=

4
5
,
3
5

Tính Gradient của f tại điểm P
0
f(P
0

) = (2y, 2x  6y)



(5,5)
= (10, 20)
Tính đạo hàm theo công thức:
D
v
f(5, 5) = v f(5, 5) =

4
5
,
3
5

(10, 20) = 8 12 = 4
(b)

v =

u
|

u |
=

3
5

,
4
5

f (P
0
) = (4x, 2y)|
(1,1)
= (4, 2)
D

v
f (P
0
) =

3
5
,
4
5

(4, 2) = 4
(c)

v =

u
|


u |
=

12
13
,
5
13

f (P
0
) =

2 + y
2
(xy + 2)
2
,
2  x
2
(xy + 2)
2





(1,1)
=


1
3
,
1
3

D

v
f (P
0
) =

12
13
,
5
13

1
3
,
1
3

=
7
39
(d)


v =

u
|

u |
=

3

13
,
2

13

f (P
0
) =


y
x
2
+ y
2
+

3y


4  (xy)
2
,
x
x
2
+ y
2
+

3x

4  (xy)
2








(1,1)
=

3
2
,
5
2


D

v
f (P
0
) =
1
2

13
(3, 2) (3, 5) =
1
2

13
(e)

v =

u
|

u |
=
1
7
(3, 6, 2)
f (P
0

) = (1, 3, 0)
D

v
f (P
0
) = 3
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến
Gradient và đạo hàm theo hướng 9
(f)

v =

u
|

u |
=
1

3
(1, 1, 1)
f (P
0
) = (2, 4, 4)
D

v
f (P
0

) =
1

3
(1, 1, 1) (2, 4, 4) =
2

3
(g)

v =

u
|

u |
=
1
3
(2, 1, 2)
f (P
0
) = (3e
x
cos (yz) , 3ze
x
sin (yz) , 3ye
x
sin (yz))|
(0,0,0)

= (3, 0, 0)
D

v
f (P
0
) =
1
3
(2, 1, 2) (3, 0, 0) = 2
(h)

v =

u
|

u |
=
1
3
(1, 2, 2)
f (P
0
) =

y sin (xy) +
1
x
, x sin (xy) + ze

yz
, ye
yz
+
1
z





(
1,0,
1
2
)
=

1,
1
2
, 2

D

v
f (P
0
) =
1

3
(1, 2, 2) (1, 1/2, 2) = 2
3. Tìm hướng mà theo đó hàm số tăng nhanh nhất tại điểm P
0
, tính giá trị đạo hàm theo
hướng vừa tìm được.
(a) f(x, y) = x
2
+ xy + y
2
P
0
(1, 1)
(b) f(x, y) = x
2
y + e
xy
sin y P
0
(1, 0)
(c) f(x, y, z) =
x
y
yz P
0
(4, 1, 1)
(d) f(x, y, z) = xe
y
+ z
2

P
0
(1, ln 2,
1
2
)
(e) f(x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz) P
0
(1, 1, 1)
(f) f(x, y, z) = ln(x
2
+ y
2
1 + y + 6z) P
0
(1, 1, 0)
Đáp án:
(a) Hàm số tăng nhanh nhất theo hướng f(P
0
), khi đó vector đơn vị u =
f(P
0
)
|f(P
0
)|
Và giá trị đạo hàm theo hướng :
D
u
f(P

0
) = f(P
0
).u = f(P
0
).
f(P
0
)
|f(P
0
)|
=
|f(P
0
)|
2
|f(P
0
)|
= |f(P
0
)|
Áp dụng:
f(1, 1) = (1, 1)  u


1

2

,
1

2

D
u
f(1, 1) =

(1)
2
+ 1
2
=

2
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
10 Gradient và đạo hàm theo hướng
(b) f (x, y) =

2xy + ye
xy
sin y, x
2
+ xe
xy
sin y + e
xy
cos y


f (P
0
) = (0, 2)
D
u
f (P
0
) =

2
2
= 2
(c) f (P
0
) = (1, 5, 1)
D
u
f (P
0
) =

1
2
+ (5)
2
+ (1)
2
= 3

3

(d) f (P
0
) = (2, 2, 1)
D
u
f (P
0
) = 3
(e) f (P
0
) = (2, 2, 2)
D
u
f (P
0
) = 2

3
(f) f (x, y, z) =

2x
x
2
+ y
2
1 + y + 6z
,
2y + 1
x
2

+ y
2
1 + y + 6z
,
6
x
2
+ y
2
1 + y + 6z

f (P
0
) = (1, 3/2, 3)
D
u
f (P
0
) = 7/2
4. Cho hàm số f(x, y) = x
2
xy + y
2
. Tìm vector đơn vị u và giá trị của D
u
f(1, 1) biết
rằng:
(a) D
u
f(1, 1) lớn nhất

(b) D
u
f(1, 1) nhỏ nhất
(c) D
u
f(1, 1) = 0
(d) D
u
f(1, 1) = 4
(e) D
u
f(1, 1) = 3
Đáp án:
(a) Tương tự bài trên ta có: giá trị đạo hàm lớn nhất tại P
0
khi đạo hàm theo hướng
tăng nhanh nhất tại P
0
.
f(x, y) = (2x  y, 2y x)  f(1, 1) = (3, 3)  u =
1

2
(1, 1)
D
u
f(1, 1) = 3

2
(b) Giá trị đạo hàm nhỏ nhất khi f giảm nhanh nhất, vậy:

u =
1

2
(1, 1) và
D
u
f(1, 1) = 3

2
(c) Giá trị đạo hàm là 0 khi vector u vuông góc với vector gradient:
u.f(1, 1) = 0  u =
1

2
(1, 1)
(d) Với đạo hàm theo hướng tại P
0
có giá trị m bất kì ta giả sử u = (a, b). Khi đó u
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến
Gradient và đạo hàm theo hướng 11
thỏa:



u.f (P
0
) = m
|u| =


a
2
+ b
2
= 1
Áp dụng:



(a, b).(3, 3) = 3a 3b = 4
a
2
+ b
2
= 1




a
2
= b
2
+
8
3
b +
16
9
2b

2
+
8
3
b +
7
9
= 0




b =
4+

2
6
a =
4+

2
6
b =
4

2
6
a =
4


2
6
kết luận.
(e) Lý luận như bài (d) tính được: u(1, 0) hoặc u(0, 1)
5. (Tương tự câu trên) Cho hàm số f(x, y) =
x  y
x + y
. Tìm vector đơn vị u và giá trị của
D
u
f


1
2
,
3
2

biết rằng:
(a) D
u
f


1
2
,
3
2


lớn nhất ( u =
1

13
(3, 2))
(b) D
u
f


1
2
,
3
2

nhỏ nhất (u =
1

13
(3, 2))
(c) D
u
f


1
2
,

3
2

= 0 (u =
1

13
(2, 3) hoặc u =
1

13
(2, 3))
(d) D
u
f


1
2
,
3
2

= 2 (u = (0, 1), u = (
12
13
,
5
13
))

(e) D
u
f


1
2
,
3
2

= 1 (u =

3+4

3
13
,
26

3
13

, u =

34

3
13
,

2+6

3
13

)
6. Theo hướng nào thì đạo hàm của hàm số f(x, y) =
x
2
y
2
x
2
+ y
2
tại điểm (1, 1) bằng 0.
(Hướng vuông góc với vector gradient và u = (1, 1))
7. Tồn tại hay không vector u mà theo hướng đó đạo hàm hàm số f(x, y) = x
2
3xy + 4y
2
tại điểm P (1, 2) có giá trị 14. (Giải tương tự bài 4.(d) không tồn tại)
8. Tồn tại hay không vector u mà theo hướng đó tốc độ biến thiên hàm nhiệt độ
T (x, y) = 2xy yz với nhiệt độ tính bằng
o
C, khoang cách tính bằng feet, tại điểm
P (1, 1, 1) có giá trị 3 (
o
C/ft). (Không)
9. Đạo hàm của hàm số f(x, y) tại điểm P

0
(1, 2) theo hướng

i +

j là 2

2 và theo hướng
2

j là 3. Đạo hàm của hàm f theo hướng

i  2

j nhận giá trị là bao nhiêu?
Đáp án: Gọi u = (1, 1),v = (0, 2), w = (1, 2), ta có hệ:



D
u
|u|
f(P
0
) =
1

2
uf (P
0

) = 2

2  uf(P
0
) = 4
D
v
|v|
f(P
0
) =
1
2
vf(P
0
) = 3
mà w = u +
1
2
v nên
Hàm số nhiều biến Vi tích phân A2
12 Gradient và đạo hàm theo hướng
D
w
| w|
f(P
0
) =
1


5
wf (P
0
) =
1

5
(u +
1
2
v)f(P
0
) =
4  3

5
Hoặc giả sử f(P
0
) = (a, b) giải hệ được (a, b) rồi áp dụng công thức với vector w
10. Hàm số đạo hàm của hàm f(x, y, z) tại điểm P đạt giá trị lớn nhất theo hướng
v =

i +

j

k và giá trị lớn nhất đó là 2

3.
(a) Tìm tọa độ f tại P . (f(P ) = (2, 2, 2))

(b) Tính đạo hàm của hàm f tại P theo hướng v =

i +

j. (2

2)
Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến