Bài tập nguyên hàm cơ bản có đáp an

Lời giải chi tiết:

Ta có $\int{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}}dx=-\int{\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}}dx=-\int{\frac{[\sin x+\cos x{]}'}{\sin x+\cos x}}dx$

$=-\int{\frac{d\left[ \sin x+\cos x \right]}{\sin x+\cos x}}=-\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C.$Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\int{\frac{x+1}{{{\left[ {{x}^{2}}+2x \right]}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x+2}{{{\left[ {{x}^{2}}+2x \right]}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left[ {{x}^{2}}+2x \right]}{{{\left[ {{x}^{2}}+2x \right]}^{2}}}}$

Áp dụng $\int{\frac{du}{{{u}^{2}}}=\frac{-1}{u}+C}\Rightarrow I=\frac{-1}{2[{{x}^{2}}+2x]}+C.$Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $I=\int{\frac{xdx}{\sqrt[3]{{{\left[ 1+{{x}^{2}} \right]}^{2}}}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}{\sqrt[3]{{{\left[ 1+{{x}^{2}} \right]}^{2}}}}}=\frac{1}{2}\int{{{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}^{\frac{-2}{3}}}d\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}$

$=\frac{1}{2}.3.{{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}^{\frac{1}{3}}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}+C.$Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $F\left[ x \right]=\frac{1+\sin x}{x-\cos x}dx=\int{\frac{{{\left[ x-\cos x \right]}^{\prime }}}{x-\cos x}dx}=\int{\frac{d\left[ x-\cos x \right]}{x-\cos x}}=\ln \left| x-\cos x \right|+C$

Với $C=\ln 2$ta được $F\left[ x \right]=\ln \left| 2x-2\cos x \right|.$

Với $C=1$ ta được $F\left[ x \right]=\ln \left| x-\cos x \right|+1.$

Với $C=0$ ta được $F\left[ x \right]=\frac{1}{2}\ln {{\left[ x-\cos x \right]}^{2}}=\ln \left| x-\cos x \right|.$

Đáp án sai là D. Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $F\left[ x \right]=\int{\frac{\cos xdx}{\sqrt{4\sin x-3}}}=\int{\frac{d\left[ \sin x \right]}{\sqrt{4\sin x-3}}=\frac{1}{4}\int{\frac{d\left[ 4\sin x-3 \right]}{\sqrt{4\sin x-3}}}}$

Áp dụng $\int{\frac{du}{2\sqrt{u}}=\sqrt{u}}+C\Rightarrow F\left[ x \right]=\frac{1}{2}\sqrt{4\sin x-3}+C$

Do $F\left[ \frac{\pi }{2} \right]=\frac{1}{2}+C=1\Rightarrow F\left[ x \right]=\frac{1}{2}\sqrt{4\sin x-3}+\frac{1}{2}.$Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $F\left[ x \right]=\int{\frac{dx}{x{{\left[ 2+3\ln x \right]}^{2}}}=}\int{\frac{d\left[ \ln x \right]}{{{\left[ 2+3\ln x \right]}^{2}}}=\frac{1}{3}}\int{\frac{d\left[ 3\ln x+2 \right]}{{{\left[ 2+3\ln x \right]}^{2}}}}=\frac{-1}{3\left[ 3\ln x+2 \right]}+C$

Do $F\left[ \frac{1}{e} \right]=\frac{-1}{-3}+C=1\Rightarrow C=\frac{2}{3}\Rightarrow F\left[ x \right]=\frac{-1}{9\ln x+6}+\frac{2}{3}.$Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét ${{\left[ x\sin x+\cos x \right]}^{\prime }}=\sin x+x\cos x-\operatorname{sinx}=x\cos x$

Ta có: $\int{\frac{x\sin x+\left[ x+1 \right]\cos x}{x\sin x+\cos x}}dx=\int{\left[ 1+\frac{x\operatorname{cosx}}{x\sin x+\cos x} \right]dx}=\int{dx+\int{\frac{x\cos x}{x\sin x+\cos x}dx}}$

$x+\int{\frac{d\left[ x\sin x+\cos x \right]}{x\sin x+\cos x}=x+\ln \left| x\sin x+\cos x \right|}+C.$Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${f}'\left[ x \right]=\left[ 2x+1 \right].\sqrt{f\left[ x \right]}\Leftrightarrow \frac{{f}'\left[ x \right]}{\sqrt{f\left[ x \right]}}=2x+1$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $\int{\frac{{f}'\left[ x \right]}{\sqrt{f\left[ x \right]}}dx}=\int{\left[ 2x+1 \right]}dx\Leftrightarrow \int{\frac{d{f}'\left[ x \right]}{\sqrt{f\left[ x \right]}}}={{x}^{2}}+x+C$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{f\left[ x \right]}={{x}^{2}}+x+C$

Thay $x=2$ta có: $2.\sqrt{6}={{2}^{2}}+2+C\Rightarrow C=2$

Thay $x=1$ta có: $2\sqrt{f\left[ 1 \right]}={{1}^{2}}+1+2\Rightarrow f\left[ 1 \right]=4.$Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${f}'\left[ x \right]=2x{{\left[ f\left[ x \right] \right]}^{2}}\Rightarrow \frac{{f}'\left[ x \right]}{{{\left[ f\left[ x \right] \right]}^{2}}}=2x$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $\int{\frac{{f}'\left[ x \right]}{{{\left[ f\left[ x \right] \right]}^{2}}}dx=}\int{2xdx\Leftrightarrow \int{\frac{d\left[ f\left[ x \right] \right]}{{{\left[ f\left[ x \right] \right]}^{2}}}}}={{x}^{2}}+C\Leftrightarrow \frac{-1}{f\left[ x \right]}={{x}^{2}}+C.$

Mặt khác $f\left[ 2 \right]=-\frac{2}{9}\Rightarrow \frac{9}{2}={{2}^{2}}+C\Leftrightarrow C=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{-1}{f\left[ x \right]}={{x}^{2}}+\frac{1}{2}$

Thay $x=1$ta được $-\frac{1}{f\left[ 1 \right]}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow f\left[ 1 \right]=-\frac{2}{3}.$Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${f}'\left[ x \right]=3{{x}^{2}}.f\left[ x \right]\Leftrightarrow \frac{{f}'\left[ x \right]}{f\left[ x \right]}=3{{x}^{2}}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $\int{\frac{{f}'\left[ x \right]}{f\left[ x \right]}dx=\int{3{{x}^{2}}}dx}\Leftrightarrow \int{\frac{d{f}'\left[ x \right]}{f\left[ x \right]}}={{x}^{3}}+C$

$\Leftrightarrow \ln \left[ f\left[ x \right] \right]={{x}^{3}}+C$[Do $f\left[ x \right]>0\forall x\in \mathbb{R}]$

Suy ra $f\left[ x \right]={{e}^{{{x}^{3}}+C}}$. Do $f\left[ 0 \right]={{e}^{C}}=1\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f\left[ 1 \right]=e$. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có $f\left[ x \right].{f}'\left[ x \right]=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}\Leftrightarrow \int{f\left[ x \right].{f}'\left[ x \right]dx=\int{\left[ 3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}} \right]}}dx$

$\Leftrightarrow \int{f\left[ x \right]d\left[ f\left[ x \right] \right]=\frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}}+C\Leftrightarrow \frac{{{f}^{2}}\left[ x \right]}{2}=\frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}+C\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left[ x \right]={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+2C.$

Mà $f\left[ 0 \right]=2\Rightarrow {{f}^{2}}\left[ 0 \right]=4\Rightarrow 2C=4\Rightarrow {{f}^{2}}\left[ x \right]={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+4.$

Vậy ${{f}^{2}}\left[ 2 \right]={{\left. \left[ {{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+4 \right] \right|}_{x=2}}={{2}^{6}}+{{4.2}^{3}}+4=100$. Chọn B.