06/10/2017 Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm một biến GV. Phan Trung Hiếu §1. Đạo hàm của hàm một biến §1. Đạo hàm của hàm một biến §2. Hàm khả vi, vi phân của hàm số §3. Đạo hàm và vi phân cấp cao LOG O I. Đạo hàm cấp một: Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , được tính bởi f ( x0 )  lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 2 Trong định nghĩa trên, nếu đặt x  x  x0 : Số gia của biến số tại x0. y  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 ): Số gia của hàm số tại x0. Khi đó f ( x0 )  lim x 0 nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được gọi là khả vi tại x0. 3 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số tại x0  0.  ln(1  x 2 ) khi x  0  f ( x)   x 0 khi x  0  Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) f ( x0 )  lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0 f ( x0 )  lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 x  x0 Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải) x  x0 5 y f ( x0  x)  f ( x0 )  lim  x  0 x x f ( x0  h)  f ( x0 )  lim h 0 h 4 Định lý 1.5 f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số f ( x)  x tại x0  0. Định lý 1.6. f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0. 6 1 06/10/2017 Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số e ( x  x ) khi x  0 f ( x)   khi x  0 m x 2 khả vi tại x0  0. Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số 3x 2  5 khi x  1 f ( x)   ax  b khi x  1 có đạo hàm tại x0  1. 7 Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y  arctan x 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x) , ta có ( k .u )  k .u (u  v)  u  v (u.v)  u.v  u.v  u  u.v  u.v    v2 v 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó y( x)  yu .ux 8 III. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm: 3.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal): Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến số kinh tế, gọi x0  D. 2 b) y  (arcsin x ) 1 x c) y  1 x Hàm số My  f ( x) được gọi là hàm biên tế (hàm cận biên) của biến y. x x 2x d) y  e arctan e  ln 1  e e) y  ( x 2  1) x II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: Giá trị My ( x0 )  f ( x0 ) được gọi là biên tế (giá trị cận biên) của hàm số f(x) tại điểm x0. 3 f) y  (1  x ) 2  x 2 3 3 x 3 9 3.2. Ý nghĩa của biên tế: My ( x0 ) cho biết xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1 đơn vị. Cụ thể, ta có My ( x0 )  0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ tăng My ( x0 ) đơn vị. My ( x0 )  0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ giảm  My ( x0 ) đơn vị. Ví dụ 1.6: Cho hàm tổng chi phí C  0,1Q 2  0,3Q  100. a) Tìm hàm chi phí biên tế. b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng Q  120 đơn vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. 11 10 3.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối: Xét hàm số y = f(x). Khi biến số tăng từ x0 đến x thì ta có -Độ thay đổi tuyệt đối của biến x tại x0 là x  x  x0 Độ thay đổi tuyệt đối của biến x phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biến x. -Độ thay đổi tương đối của biến x tại x0 là x x0 Độ thay đổi tương đối của biến x không phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biến x. 12 2 06/10/2017 3.4. Hệ số co dãn: hệ số co dãn của biến y theo biến x tại x0 là x  yx ( x0 )  y( x0 )  0 y ( x0 ) 3.5. Ý nghĩa của hệ số co dãn:  yx ( x0 ) cho biết xấp xỉ độ thay đổi tương đối của biến y khi biến x tăng tương đối lên 1% tại x0. Cụ thể, ta có  yx ( x0 )  0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x tăng 1% thì y sẽ tăng  yx ( x0 )%.  yx ( x0 )  0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x tăng 1% thì y sẽ giảm  yx ( x0 )%. Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:  Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là co dãn tại x0 (hàm số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm co dãn.  Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là đẳng co dãn tại x0 Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm đẳng co dãn (điểm co dãn đơn vị).  Nếu  yx ( x0 )  1 thì hàm f được gọi là không co dãn tại x0 (hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến số). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm không co dãn. 13 14 Ví dụ 1.7: Cho hàm cầu Q  600  2 P. Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá P = 100; P = 200 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. §2. Vi phân của hàm số 15 16 Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì I. Vi phân cấp một: 1) d (u  v)  du  dv. 2) d (k .u)  k .du. 3) d (u.v)  vdu  udv. Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là hay df ( x)  f ( x) dx dy  ydx Ví dụ 2.1. Tìm vi phân của hàm số y  e x . 17 2  u  vdu  udv 4) d    . v2 v Ví dụ 2.2. Tính a) d ( x 3  e x ) b) d ( x 3 e x )  x3  c) d  x  e  18 3 06/10/2017 III. Ứng dụng của vi phân: Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số. Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là §3. Đạo hàm và vi phân f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x  o(x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x cấp cao Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x), điểm x0 và số gia x đủ nhỏ. Ví dụ 2.3. Tính gần đúng giá trị của 3 2,0001. 19 20 I. Đạo hàm cấp cao: Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) là y  f ( x)   f ( x)  Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n1) ( x)  Ví dụ 3.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứng minh xy  2( y  sin x )  xy  0. Ví dụ 3.3. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng minh y 3 y  1  0. Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó (u.v)( n )   Cnk u ( k )v ( nk ) n k 0 Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp kx ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const. Ví dụ 3.4. Tính y II. Vi phân cấp cao: Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là III. Quy tắc L’Hospital: Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu i) lim f ( x)  lim g ( x)  0 hay (20) 21   d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n Ví dụ 3.5. Cho y  (2 x  3)3 . Tính d 3 y. 22 x  x0 x  x0 lim f ( x)  lim g ( x)   x  x0 f ( x) x x0 và lim tồn tại x  x0 g ( x ) thì 23 của hàm số y  x 2e 2 x . lim x  x0 f ( x) f ( x)  lim g ( x ) x x0 g ( x) 24 4 06/10/2017 Chú ý 1.2.  Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định 0  hoặc . 0   Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. IV. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn: Dạng 0 0 Ví dụ 3.6. Tính các giới hạn sau x2  5x  6 x 2 x  x 2  x  2 sin x c) lim x 0 x a )lim e)lim x 0 25 Dạng   Ví dụ 3.7. Tính các giới hạn sau 3x 2  2 x a ) lim x  x 2  1 x2  x b) lim x x  e  3 c) lim d ) lim ln 2 x x  x 3 x  0 0 Dạng 0.  .  f 1 g f .g (0.)   g 1 f Ví dụ 3.8. Tính các giới hạn sau   b) lim  x   .tan x   2 x a ) lim x.ln x x 0 27 Dạng     0 Ta đưa về dạng hoặc .  0 Chú ý:   f   f 1   g      f  f  g   g   1  g    f .g  1  1     g f  29 x 26 Ta đưa về dạng hoặc Chú ý: 2  4  x2 x2  9  3 e 1 d )lim 3 x 0 x ln(cos x) f )lim x 0 arctan 2 x  2 x 2 x 0 x  sin x x3 x 1  x2 b)lim 3 2 28 Ví dụ 3.9. Tính các giới hạn sau 1   1 a )lim    x 1  ln x x 1 c )lim x 0 b) lim (e x  x 2 ) x  1  1 1    t an2x  sin x x  30 5 06/10/2017 Dạng 00 ,  0 , 1 g ( x) Giới hạn có dạng lim  f ( x)  , trong đó f ( x)  0 x x trong lân cận của x0. Xem lại phương pháp giải ở Chương 1. 0 Ví dụ 3.10. Tính các giới hạn sau 1 b) lim   x 0  x  a ) lim x x x 0 tan x 31 Ta có thể thiết lập các bài toán tối ưu trong kinh tế mà thực chất là tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến số. Chẳng hạn: -Tìm mức P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa.  lập hàm R(P) hoặc R(Q). -Tìm mức Q để chi phí C đạt tối thiểu.  lập hàm C(Q). -Tìm mức Q để lợi nhuận  đạt tối đa.  lập hàm  (Q). Chú ý 5.1: Doanh nghiệp muốn tiêu thụ hết sản phẩm Q  QD ( P ). 33 5.2. Bài toán thuế doanh thu: Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Gọi t: mức thuế doanh thu trên một đơn vị sản phẩm. T=t.Q: tổng số thuế doanh thu.  t  R  C  T : lợi nhuận sau thuế. Hãy tìm mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng số thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất. Phương pháp: Bước 1: Viết hàm lợi nhuận sau thuế  t (Q ), Q  0. Bước 2: Tìm mức sản lượng Q(t) để  t đạt GTLN. Bước 3: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuế t để T đạt GTLN. 35 V. Một số bài toán trong kinh tế: 5.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất: Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Gọi P: đơn giá. QD = QD(P): hàm cầu. Q = Q(P): hàm sản lượng. C = C(Q): hàm tổng chi phí. R = P.Q: doanh thu.   R  C : lợi nhuận (trước thuế). 32 Ví dụ 3.11: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá của 1 đơn vị sản phẩm trên thị trường là P = 130 đơn vị tiền. Tổng chi phí để doanh1nghiệp sản xuất ra Q đơn vị sản 3 2 phẩm (Q > 1) là C  Q  Q  10Q  20 đơn vị tiền. 3 Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa. Ví dụ 3.12: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Hàm cầu QD của sản phẩm này là QD = 300-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là C  Q 3  19Q 2  333Q  10. Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa. 34 Bước 4: Kiểm tra sự phù hợp bằng cách với t tìm được, ta tính T, Q, R, C,  t , P. Nếu tất cả các kết quả đều > 0 thì kết quả t tìm được là phù hợp. Ví dụ 3.13: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Hàm cầu QD của sản phẩm này là QD = 800-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là C  Q 2  200Q  100. Các nhà làm thuế sẽ áp mức thuế doanh thu t trên một đơn vị sản phẩm là bao nhiêu để tổng số thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất? 36 6 06/10/2017 5.3. Bài toán thuế nhập khẩu: Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một mặt hàng. Gọi QS = S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa. QD = D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa. P0 : giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa. Q: lượng hàng doanh nghiệp nhập về từ thị trường quốc tế. P : số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp phải chi ra để mua ở thị trường quốc tế = giá bán ở thị trường quốc tế + chi phí nhập khẩu (chưa tính thuế). t: mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm P  t  P0 37 Bước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế t (Q ) hoặc t ( P ) ): Sau khi nhập hàng, thị trường nội địa có lượng cung là Q + QS (P). Khi đó: Q  QS ( P )  QD ( P )  Q  QD ( P )  QS ( P )  P  P (Q). Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là t  R  C  T  P.Q  P.Q  t.Q. Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để  t đạt GTLN. Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuế t để T đạt GTLN. Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện P: giá bán một đơn vị hàng của doanh nghiệp ra thị trường nội địa sau khi nhập hàng. P  t  P  P0 Hãy tìm mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị hàng để tổng số thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng nhập khẩu của doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Phương pháp: Bước 1 (Tìm P0): Trước khi nhập khẩu, các nhà sản xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàng  QS  QD . 38 Ví dụ 3.14: Một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa, nhu cầu về mặt hàng này là QD = 4200-P đơn vị và các nhà sản xuất cung cấp được QS = -200+P đơn vị. Để mua mặt hàng này ở thị trường quốc tế thì doanh nghiệp phải chi ra một số tiền là 1600 đơn vị tiền cho mỗi đơn vị hàng (chưa tính thuế). Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng số thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất ? P  t  P  P0 39 5.4. Bài toán thuế xuất khẩu: Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu một mặt hàng. Gọi QS = S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa. QD = D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa. P0 : giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa. Q: lượng hàng doanh nghiệp thu mua từ thị trường nội địa. P : số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp thu được khi bán mặt hàng ở thị trường quốc tế (giá bán một đơn vị hàng trên thị trường quốc tế của doanh nghiệp trừ đi chi phí xuất khẩu (chưa trừ thuế)). t: mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm P  t  P0 41 40 P: giá mua một đơn vị hàng từ thị trường nội địa để xuất khẩu. P0  P  P  t Hãy tìm mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để tổng số thuế xuất khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩu của doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Phương pháp: Bước 1 (Tìm P0): Trước khi doanh nghiệp mua hàng, các nhà sản xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàng  QS  QD . 42 7 06/10/2017 Bước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế t (Q ) hoặc t ( P ) ): Khi doanh nghiệp mua hàng, thị trường nội địa có lượng cầu là Q + QD . Khi đó: Q  QD ( P )  QS ( P )  Q  QS ( P )  QD ( P )  P  P (Q). Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là t  R  C  T  P.Q  P.Q  t.Q. Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để  t đạt GTLN. Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuế t để T đạt GTLN. Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện Ví dụ 3.15: Một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu một mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa, nhu cầu về mặt hàng này là QD = 4200-P đơn vị và các nhà sản xuất cung cấp được QS = -200+P đơn vị. Nếu xuất mặt hàng này ra nước ngoài thì doanh nghiệp sẽ thu về 3200 đơn vị tiền cho mỗi đơn vị hàng (trừ chi phí xuất khẩu nhưng chưa trừ thuế). Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng số thuế xuất khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất? P0  P  P  t 43 44 8 BẢNG 2. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP Đạo hàm của hàm hợp, với u=u(x) STT Đạo hàm (C )  0 (C  const ) 1 ( x )   .x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (u )   .u 1.u  1  1    2  x x 1 ( x )  2 x ( a x )  a x .ln a, ( a : hằng > 0) (e x )  e x (log a x)   1  u    2 u u u ( u )  2 u ( a u )  a u .(ln a ).u (  const ) (eu )  eu .u u (log a u )  u.ln a u (ln u )  u (sin u )  (cos u ).u 1 , (0  a  1) x.ln a 1 (ln x)  x (sin x)  cos x (cos x )   sin x 1 (tan x)   1  tan 2 x 2 cos x 1 (cot x)  2  (1  cot 2 x) sin x 1 (arcsin x)  1  x2 1 (arccos x)  1  x2 1 (arc tan x)  1  x2 1 (arccot x)  1  x2 (cos u )  (sin u ).u u (tan u )   (1  tan 2 u ).u 2 cos u u (cot u )  2  (1  cot 2 u ).u sin u u (arcsin u )  1  u2 u  (arccos u )  1  u2 u (arc tan u )  1  u2 u (arccot u )  1  u2 9