Bài 79 trang 62 sgk giải tích 12 nâng cao
Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho hàm số : \(y = f\left( x \right) = x + {1 \over x}\) LG a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Lời giải chi tiết: Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\) \(\eqalign{ Hàm số đồng biến trên các khoảng: \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\) Hàm số nghịch biến trên các khoảng: \(\left( { - 1;0} \right),\left( {0;1} \right)\) +) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại: \(x=-1 ; y(-1)= -2\) Hàm số đạt cực tiểu tại: \(x=1;y(1)=2\) +) Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ - }} = - \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }} = + \infty \) Tiệm cận đứng: \(x=0\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over x} = 0\) Tiệm cận xiên: \(y=x\) Bảng biến thiên: Đồ thị: LG b Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C). Lời giải chi tiết: Tiệm cận đứng x = 0; Tiệm cận xiên y = x. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là \(y = \left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}}\) Thay x = 0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A: \({y_A} = \left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( { - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} \) \(= {2 \over {{x_o}}}\). Vậy \(A\left( {0;{2 \over {{x_o}}}} \right)\) Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình \(\left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} = x \) \(\Leftrightarrow - {x \over {{x_o}}} + {2 \over {{x_o}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_o}\) \({x_B} = 2{x_o}\). Vậy \(B\left( {2{x_o};2{x_o}} \right)\) Ta có: \({x_M} = {x_o} = {{0 + 2{x_o}} \over 2} \) \(= {{{x_A} + {x_B}} \over 2}\) Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta thấy, khoảng cách từ B đến trục Oy bằng 2x0là độ dài đường cao kẻ từ B của OAB, OA có độ dài bằng 2/x0. \(S = {1 \over 2}\left| {{y_A}} \right|\left| {{y_B}} \right| = {1 \over 2}\left| {{2 \over {{x_o}}}} \right|\left| {2{x_o} } \right|=2,\) với \(\forall {x_o} \ne 0\)
|