Bài 6 trang 31 sgk hình học 12 nâng cao

LG a

Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông cân tại B nên \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SA = {1 \over 3}.\frac{{{a^2}}}{2} .a = {{{a^3}} \over 6}\)

LG b

Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mp \((AB'C')\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(BC \bot BA\)và \(BC \bot SA\)nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Mà \(AB' \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(AB' \bot BC\)

Ta có \(AB' \bot SB\)và \(AB' \bot BC\)nên \(AB' \bot \left( {SBC} \right)\)

Suy ra \(AB' \bot SC\).

Theo giả thiết \(SC \bot AC'\), \(SC \bot AB'\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow SC \bot \left( {AB'C'} \right)\)

LG c

Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AC\) là đường cao trong tam giác vuông \(SAC\) nên \({{SC'} \over {SC}} = {{SC'.SC} \over {S{C^2}}} = {{S{A^2}} \over {S{C^2}}} = {{{a^2}} \over {3{a^2}}} = {1 \over 3}\)

Từ đó suy ra \({{{V_{S.AB'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SC'} \over {SC}} = {1 \over 2}.{1 \over 3} = {1 \over 6}\)

Vì \({V_{S.ABC}} = {{{a^3}} \over 6}\)nên \({V_{S.AB'C'}} = {{{a^3}} \over {36}}\).

Cách khác:

Vì SC'AB'C' nên:

(trung tuyến trong tam giác vuông)

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được:

Nhận xét:

Ta có: AB'(SBC) nên có thể lấy V = (1/3)AB'.SΔSB'C'=(1/6). AB'.B' C'.SC' rồi tính toán.